Agigio math

[oukziz]

s'il vous plait je n'arrive pas a comprendre comment démontrer la limite d'une fonction en utilisant la définition
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[gg0]

Bonjour.

je suppose qu'il s'agit de la définition par epsilon et alpha (ou éta). Dans ce cas, on part de |f(x)-l|<epsilon, et on essaie de "remonter les implications" pour arriver à |x-a|< quelque chose qui ne dépend plus de x. Puis on rédige la preuve dans le bon sens.

Par exemple, pour prouver que la limite en 2 de x² est 4, on part de |x²-4|<e, ce qui donne |x-2|(x+2)<e. En prenant x proche de 2, disons entre 1 et 3, on a 3<x+2<5, ce qui donne e/5<e/(x+2)<e/3; comme on veut avoir |x-2|<e/(x+2), il suffit de prendre |x-2|<e/5.
Maintenant, on rédige la preuve :
Soit e>0; prenons a=inf(1,e/5) (a est le plus petit nombre entre 1 et e/5)
Si |x-2|<a, alors 2-a<x<2+a donc 1<x<3 d'où 3<x+2<5.
Alors |x²-4|=(x+2)|x-2|<5a<=e.

Cordialement.

[oukziz]

donc le but de la démonstration et de prouer qu'il existe un a ...mais pourquoi a doit il etre le plus petit

[oukziz]

pardon preuver l'existence de a

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"... pourquoi a doit il etre le plus petit " Pour que la démonstration marche. Regarde la suite ...

le 1 vient de ce que j'ai expliqué, comme la limite est en 2, les x loin de 2 ne servent à rien, donc on prend x entre 1 et 3 (on pourrait le prendre entre 0 et 4, ou entre 1,9 et 2,5, mais inutile de compliqué). Comme x est à moins de 1 de 2, |x-2|<1 (|x-2| est justement la distance entre x et 2).

[oukziz]

merci inifiniment...je voudrais bien savoir le cas quand x tend vers l'infini je pense que ce n'est pas la meme chose

[gg0]

C'est le même genre d'idée, avec la définition correspondante.

[oukziz]

merci bcp ggo