SPE:nombres premiers

[invitee290a5e0]

Bonjour,
je récupère les sujets de khôlles qui sont tombés dans ma classe cependant je n'ai pas la correction donc quelqu' un pourrait-il m'aider svp?
Soit un n un entier naturel tel que 3n soit un carré et 5n un cube donc 3n=a² et 5n=b^3, a et b étant des entiers naturels non nuls.

1) Montrer que n divisible par 3 et pas 5² (pas de problèmes pour cette question)
2) En déduire que 27 (3^3) divise 5n
3) conclure

2)J'ai essayé par congruences modulo 27 ou bien en décomposant n selon les resultats de la question 1 mais je n'arrive pas du tout à montrer que 5n est divisible par 27

3) Je dirai qu'un des candidat possible pour b^3 est 5^3x3^3 et donc que n=675. On a bien une homogénéité car 3x675=45². (Pouvez-vous me dire si c'est juste svp).

Merci de votre attention
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[gg0]

Bonsoir.

3n étant un carré, est de la forme 9 a², donc n=3a²; comme 5n est un cube, divisible par 3, 5n est de la forme 27b²

J'utilise la propriété classique si n^p a un facteur premier a, alors a^p divise n^p. Tu peux le prouver facilement avec le lemme de Gauss qui justifie que a est un facteur de n.

Cordialement

[invitee290a5e0]

Merci gg0 pour cette réponse rapide, cependant cette propriété n'est pas au programme tout comme le lemme de Gauss donc existe t-il une autre méthode stp?

Cordialement

[gg0]

Je ne connais pas les programmes actuels, donc je ne sais pas quelles propriétés tu peux utiliser. Qu'as-tu comme règle concluant qu'un nombre est un diviseur en dehors de la définition ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee290a5e0]

Nous avons le théorème de Bézout, de gauss, la transitivité , les congruences (si a congru à 0 modulo n alors a divisible par n), le théorème qui dit que si a divisible par b et c avec b, c premiers entre eux alors a divisible par bc, nous avons aussi la décomposition en facteurs premiers qui nous donne le nombre de diviseurs d'un nombre.

[gg0]

Tu as tout ce qu'il te faut. Si ton théorème de Gauss est bien "si un entier premier divise le produit de deux nombres, il divise au moins l'un des deux nombres", ça suffit à faire la preuve. Sinon, tu peux employer la décomposition en facteurs premiers.

Bon travail !