Décomposition d'un vecteur suivant deux axes orthogonaux

[Klowait]

Bonjour, j'ai un problème avec mon exercice sur les vecteurs, le sujet :

Un skieur de poids 800N (une masse d'environ 80kg) est tiré par un téléski. La pente fait un angle de 20° avec l'horizontale.
La perche fait un angle de 50° avec la pente.

http://hpics.li/9faed05

Le skieur est donc soumis à trois forces :
- son poids P ⃗
- la force exercée par la perche F ⃗
- la réaction du sol R ⃗
( On néglige les frottements)

On considère le repère orthonormal ( G; I ⃗, J ⃗ ) où G est le centre de gravité du skieur. L'axe ( G; I ⃗ ) correspond à la pente dans le sens de la montée, l'axe ( G ; J ⃗ ) est perpendiculaire à la pente dans le même sens que R ⃗ (unité graphique 1 cm pour 200N)

1. Reproduire le schéma ci-après en précisant les valeurs de α et β .

http://hpics.li/c52cb37

2. Construire les composantes (Fx) ⃗ et (Fy) ⃗ du vecteur F ⃗ suivant les axes (G ; i ⃗ ) et ( G ; j ⃗ ) ainsi que les composantes (Px) ⃗ et (Py) ⃗ du vecteur P ⃗.
3. Montrer que || p ⃗ || sin α = ||F ⃗ || cos β et || P ⃗|| cos α = ||F ⃗ || sin α + ||R ⃗ ||.
4. En déduire l'intensité ||F ⃗ || et ||R ⃗ || des forces F ⃗ et R ⃗ à 1N près .


Les deux premières questions sont faites. Cependant je n'arrive pas à faire les deux suivantes.
Merci d'avance de votre aide.
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[sender]

Ce ne serait pas plutôt à déplacer en physique ?

[Klowait]

Malheureusement non, c'est bel et bien mon professeur de Mathématique et dans mon manuel que se trouve celui-ci..

[hehelow]

Principe fondamentale de la dynamique dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, la somme des forces est nulle.

Tu as donc P = R + F (en vecteur)
Tu projettes :
Px = Rx + Fx
De même
Py = Ry + Fy

Et le tour est joué

[A voir en vidéo sur Futura]

[sender]

Si G est le centre de gravité et qu'il est soumis à un teleski de vitesse constante -> translation rectiligne et uniforme dans un ref galiliéen ... .
A toi de conclure

[gg0]

Bonjour.

la somme des forces est nulle, donc la somme des composantes aussi. Il te suffit d'appliquer les formules sur la projection d'un vecteur (ou d'un segment) sur un axe (*) pour avoir les résultats demandés, à corriger, d'ailleurs en
|| P ⃗|| cos α = ||F ⃗ || sin β + ||R ⃗ ||.

Cordialement.

(*) ou encore les composantes d'un vecteur dans un repère; tu peux d'aillerus exprimer de deux façons les composantes de la somme des trois forces.

[Klowait]

Bonjour,
Je vous remercie de votre aide mais je n'ai toujours pas compris comment faire..

[gg0]

Hehelow a totalement détaillé. On ne fera pas un corrigé, c'est le travail de ton prof.

[Klowait]

Le problème est que je ne vois pas le rapport avec R ou encore avec Px Fx Py Fy

[hehelow]

Alors, tu as la relation vectorielle P = R + F
Tu es d'accord avec ça?

Tu es dans le repère orthonormé ( G; I ⃗, J ⃗ ), dans ce repère quand tu projettes les vecteurs F, R et P sur les axes de ton repère, tu obtiens Fx, Fy, Px, Py, Rx et Ry. C'est la question deux que tu as faite.

Et bien ton égalité vectorielle P = R + F s'écrit également et simplement avec le système

Px = Rx + Fx
Py = Ry + Fy

Si tu veux une réponse précise sur un point que tu comprends pas, il faut que tu sois précis dans ta question !

[hehelow]

Pour être totalement rigoureux,
L'égalité vectorielle s'écrit :
P + R + N = 0
et donc plutôt R + N = -P (en vecteur)

Mais je ne pense pas que le problème venait pour toi du signe -.

[Klowait]

Que signifie le N?

[hehelow]

Excuse moi, le N est un F. Enfin c'était pas compliqué à comprendre avec le message précédent ...

[Klowait]

P + R + F = 0
Ça j'ai compris, mais ce que je ne comprend pas c'est pourquoi faut-il utiliser cette relation pour montrer que ||P||sina=||F||cosB
Ou encore avec ||P||cosa=||F||sina+||R||

[gg0]

Si tu ne veux pas l'utiliser, trouve autre chose.
Comme on ne va pas t'écrire un corrigé (c'est le travail de ton prof), soit tu lis et et le fais, soit tu renonces.

[Klowait]

Ce n'est pas que je ne veux pas l'utiliser mais que je ne vois pas comment on peut faire. Si je connaissais un autre moyen de le faire, je l'aurais fait dès le départ or ce n'est guère le cas.

[gg0]

Combien de fois te faut-il l'explication ?
Je te la redonne : Comme il y a cette relation entre les trois vecteurs, il y a les mêmes relations entre les projetés. Et comme tu les as calculés précédemment, tu trouves ce qu'on demande (après la rectification).

Mais c'est ton exercice, c'est à toi de le faire ...

[Klowait]

Pour la question 2 je trouve (Je ne sais pas si c'est juste ou non) :

Pour P ⃗: Px = -P*sin α = -800*sin20° = -274 arrondie à 1 près
Py = -P*cos α = -800*cos20° = -752 arrondie à 1 près

P ⃗(-274; -752)

Pour F ⃗: Fx = F*cos β = F*cos 50°
Fy = F*sin β = F*sin 50°

On sait que : P ⃗ + F ⃗ + R ⃗ = 0
Donc Px + Fx + Rx = 0
Et Py + Fy + Ry = 0

Alors Fx = -Px - Rx
Soit F*cos β = 274
F= 274/cos 50° = 426
Fy = F*sin β = 426*sin 50° = 326
F ⃗(274; 326)

Pour la question 3 je bloque car c'est pas cohérent.. :

||P ⃗||*sin α= ||F ⃗||*cos β
((-274)2+ (-725)2) *sin α = (2742 + 3262)*cos β
(600701)*sin 20°= (287752)*cos 50°
265 = 345
(D'où je trouve ça louche)

[gg0]

Désolé,

je ne comprends rien à ce que tu fabriques .... la question 2 c'est simplement du tracé sur la figure.
Et dans la question 3, comme tu connais α, β et P (=||P ⃗||) tu trouves tout de suite ||F ⃗||.

[Klowait]

Il nous demande de connaître F seulement à la quatrième question..
La 3ème question il demande de montrer l'égalité non?

[gg0]

Ah oui,

c'est à la quatrième. Alors qu'est-ce que tu calculais à la question 2 ?????
Et je croyais, depuis le temps, que cette question 3 (les égalités) était réglée !!

A quoi joues-tu ?

[Klowait]

Pour pouvoir les construires il faut bien les calculer afin de pouvoir les placer non ?
Puis pour l'égalité on a besoin de ces données.
L'intensité de F et de R vaut donc 426N ?
F = Fx/cosB = 426
Et R = Ry = 426

[gg0]

Mais tu racontes n'importe quoi !!!

Tu as un dessin théorique, on te demande de dessiner, dessine. Tu n'as pas d'unité sur les axes, qu'est-ce qu'on a à faire des valeurs. D'ailleurs, elles ne sont calculées qu'à la fin ...

Et puis après tout, fais ce que tu veux, tu me fatigues !

[Klowait]

Si il y a une échelle ce n'est pas pour rien je pense..

Excuse-moi si je ne cherche qu'à comprendre..

[Cotissois31]

Klowait,

Pour t'aider, dans un graphe xy classique, tout point M s'associe à un vecteur OM, avec O = (0,0), et les coordonnées de M (suivant x et suivant y) sont en fait les composantes du vecteur OM dans la base (Oxy), qui sont bien calculées par projection.
Lire les coordonnées de M c'est la même chose que construire les composantes de OM c'est la même chose que projeter le vecteur OM sur chacun des axes.

A la question 3, il faut
1) transformer le principe géométrique de la projection en calcul formel. On a affaire à des triangles rectangles donc des égalités doivent apparaître avec des sin et cos. On s'arrange pour pouvoir arriver à quelque chose du style : Fx=, Py=, etc.
2)On remplace alors l'égalité vectorielle du principe de la dynamique par sa version en composantes et on remplace chaque composante étudiée en 1) par sa version formelle, ce qui fait apparaître le module de P (connu en énoncé !) et des cos et sin sur les angles (connus en énoncés !) et les modules de R et F (inconnus)

A la question 4, il faut résoudre le système d'équations (2 égalités et 2 inconnues) pour trouver R et F.

Si l'idée était de mesurer sur le schéma, on aurait eu la réponse directement en normalisant bien par le rapport cm/N. Mais cette mesure ne fournirait pas de précision à 1N près car il faudrait pouvoir mesurer à 0.05mm près, ce qu'une règle ne peut pas faire
La morale, c'est bien que le calcul formel offre la précision voulue. On calcule toujours les composantes par calcul formel, si on connaît les angles. Autant s'y faire, les expressions du style R.cos(b) ou R.sin(b) cachent toujours une projection et donc des composantes de R.

[Klowait]

Ce qui me ramène au point de départ, la question 3 que je ne comprend pas comment faire..

[hehelow]

On va finir par perdre patience...

Nous t'avons expliqué plusieurs fois la démarche.
Qu'est-ce que tu ne comprends pas? Tu ne vois pas comment faire quoi?

Nous t'avons dit que pour démontrer les égalités, il faut projeter la relation vectorielle sur l'axe x et sur l'axe y.
Pour faire cela, calcule Fx (en fonction de la norme du vecteur F et de l'angle). Fais de même pour Fy, Px, Py, Rx, Ry (avec les normes des vecteurs et les angles correspondant).
Donne nous tes résultats pour ça.

Je t'aide, par exemple pour le vecteur R, on a Rx = 0 et Ry = la norme du vecteur R

[Cotissois31]

Ecris juste la traduction formelle (sans valeur numérique) de la projection et isole les termes Fx, Fy... à gauche de chaque égalité. La partie droite de chaque égalité doit alors remplacer Fx, Fy... dans le principe fondamental de la dynamique.

[Klowait]

Fx = FcosB
Fy = FsinB

Px = -PsinA
Py = -PcosA

Rx = 0
Ry = R

[hehelow]

Comme nous l'avons dit, tu as la relation vectorielle -P = R + F qui en projetant sur les axes x et y donnent :

-Px = Fx + Rx
-Py = Fy + Ry

Les égalités demandées sont alors évidentes !