Exercice sur les fonctions dérivées

[invite9bb4bf6d]

Bonjour, mon professeur de mathématiques, m'a donné un exo sur la détermination d'une fonction dérivée, et j'ai un peu du mal, même en m'aidant du cours...

Je dois donner l'ensemble de dérivabilité de la fonction f et déterminer sa fonction dérivée:

1) f(x)= -1/[(x-1)Racine de x]
j'ai appliqué uv=u'v+uv' avec u=x-1 donc u'=1, v=Racine de x et donc v'= 1/2Racine de x
et je suis arrivée à f'(x)=-1/(3x-1)/2Racine de x

2)f(x)= (3/x +5)²
Cette fois, j'ai développée l'identité remarquable a²+2ab+b² et j'ai obtenu f'(x)=-9/x^3 +-30/x²

3)f(x)=3Racine de x(4-x)
j'ai appliqué uv=u'v+uv' et j'ai obtenu f'(x)=(12-9x)/2Racine de x

4)f(x)=(2Racine de x +1)²
J'ai développé l'identité remarquable et j'ai obtenu f'(x)= 4 + 4/2Racine de x

5)f(x)=(3x-Racine de x)/(x+1)
Je n'ai pas trouvé comment faire...

6)f(x)=(xRacine de x)/(x²+3)
Je n'ai pas trouvé non plus...

Pourriez-vous me dire si les résultats que j'ai trouvés sont corrects et si possible m'indiquer la marche à suivre pour les deux derniers?
Merci beaucoup
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[Kairn]

1. Je ne trouve pas comme toi. Ta fonction est de la forme . Tu vas bien utiliser la dérivée d'un produit à un moment, mais il faut aussi penser en fait que tu dois dériver un rapport de fonction , avec f=-1 et g=uv.

2. La dérivée n'est pas . Si tu ne vois pas ce qui ne va pas, peut-être qu'écrire va t'aider.

3. Tu as ou ?

4. Si , alors ta dérivée est juste

5 et 6. Tu n'as pas vu la dérivée d'un quotient ?

[invite9bb4bf6d]

1. Je ne comprends pas trop...

2. la dérivée de x qui donne 1/x² est -1/2x^3

3.J'ai la première fonction que vous suggérez

4. Oui c'est ça!

5 et 6. Vous voulez dire u/v -> u'v+uv'/v²?

Merci beaucoup!

[Kairn]

Je commence par la fin ^^ :

5 et 6. Je parle de cette formule, à un signe près ! C'est avec un signe "moins" au numérateur, entre le u'v et le uv'

Retour au début :

1. Tu as qui est le quotient de deux fonctions. D'une part et d'autre part . C'est donc un quotient que tu dérives, et tu dois appliquer la formule relative à cela, comme dans les questions 5 et 6. Tu constateras en faisant le calcul que tu devras aussi calculer la dérivée d'un produit à un moment.

2. Non . Sais-tu dériver , avec n quelconque ?

3. Alors ça m'a l'air juste

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9bb4bf6d]

5 et 6. Oui c'est une inattention de ma part, je le savais en plus!

1. D'accord, donc je dois appliquer u/v=u'v-uv'/v²?

2Euh.. oui, c'est nx^n-1

Donc les 3. et 4. sont correctes?

[Kairn]

1. Oui. Que vas tu prendre pour u et pour v ?

2. Et donc si tu prends n=-2, tu obtiens la dérivée de

3 et 4. Oui c'est bon

[invite9bb4bf6d]

1. je vais prendre u=-1 donc u'=0 v=(x-1)Racine x et v'=1/2Racine x?

2.d'accord, Je suis arrivée à f(x)=(3/x +5)²=9/x² + 30/x + 25 donc f'(x)= -18/x^3 -30/x²?

[invite9bb4bf6d]

Pour le 5. j'obtiens (3 - (x/2Racine x) - (1/2Racine x) + Racine x)/(x+1)²

[Kairn]

1. je vais prendre u=-1 donc u'=0 v=(x-1)Racine x et v'=1/2Racine x?

Ok pour u et u'. Ok aussi pour v, mais pas pour v' ! C'est là que tu utilises la dérivation d'un produit, en l'occurrence f'g+fg', avec f(x)=x-1 et g(x)=racine(x)

2.d'accord, Je suis arrivée à f(x)=(3/x +5)²=9/x² + 30/x + 25 donc f'(x)= -18/x^3 -30/x²?

Ça ça marche .

[invite9bb4bf6d]

D'accord je vois ! j'applique en premier lieu uv= u'v+uv' et après seulement je m'occupe de u/v=u'v-uv'/v²
C'est plus clair merci !

[invite9bb4bf6d]

donc je commence avec (x-1)racine(x) avec uv= u'v+uv' avec u =x-1 u'=1 v=racine(x) v'=1//2racine(x) et ensuite j'obtiens 1racine(x) + (x-1)/2racine(x)
ensuite je fais u/v avec u=-1 u'=0 v= (x-1)racine(x) v'=1racine(x) + (x-1)/2racine(x)

[invite9bb4bf6d]

Pour la 5. j'ai procédé de la même façon et je suis arrivée à (3-3x²+x+racine(x))/(x+1)²

[invite9bb4bf6d]

oups oublier le message au dessus je me suis trompée dans mes calculs!