Bonsoir, j'aurais bien aimer que vous m'aidiez à répondre à cette question de mon exercice portant sur le polynôme de Tchebychev : On donne Pn(x) = cos[nθ(x)] avec θ(x)=arccos(x)
J'ai montré que:
Pn est un polynôme de degré n admettant n racines distinctes.
P'n(x)= cos'[nθ(x)] = n sin[nθ(x)] / sin[θ(x)].
Maintenant on me demande de montrer que Pn atteint ses extremums en n-1 point dans l'intervalle ]-1;1[. On précisera ces points et ces extremums.
Merci d'avance.
Bonjour.
Sans la dérivée :Théorème de Rolle ? Avec la dérivée : lien extrémums/dérivée.
Cordialement.
Bonjour gg0 puisque j'ai pas encore appris ce théorème j'ai essayé de déterminer les points qui annulent la dérivée voilà ce que j'ai pu faire:
J'avais oublié de préciser que θ est défini de ]-1;1[ vers ]0;π[
P'n(x)=0 >>> nsin[nθ(x)]=0 >>> sin[nθ(x)]=0 >>> nθ(x)=kπ >>> θ(x)= kπ/n >>> x = cos[kπ/n] et comme Pn est de degré n alors P'n est de degré n-1 donc ne peut admettre qu'au plus n-1 racines et on voit en faisant un encadrement de θ(x) que k ∈ [0;n-1] donc on peut dire que Pn atteint ses extremums en n-1 points de ]-1;1[.
Mais comment je détermine ces extremums? Merci
Dernière modification par Gohan. ; 01/04/2016 à 13h26.
Il va falloir être plus strict dans ton calcul si tu veux retrouver les n-1 racines de P'n. Procéder par équivalence. Par exemple conserver le fait que sin[θ(x)] est non nul (ce qui revient à dire que x est différent de -1 et 1); et ne pas oublier que nθ(x)=kπ n'a de sens que pour certaines valeurs de k puisque θ(x) est borné (c'est ce que tu dis ensuite). Et tu auras directement tes n-1 valeurs de x, puisque θ est une fonction bijective. pas la peine de revenir au degré de P'n.
D'ailleurs, tu as seulement démontré qu'il y a au plus n-1 racines, puisque tu as procédé par implication.
Cordialement.
NB : Tu es en quelle classe ? Généralement on fait plutôt ça en supérieur.
Je suis en première, regarder ce raisonnement:
On sait que P'n est dérivable sur ]-1;1[ c'est à dire donc que P'n existe si θ(x)∈]0;π[.
Posons P'n(x)=0 <<>> nsin[nθ(x)]=0 <<>> nθ(x)=kπ <<>>θ(x)=kπ/n et comme θ(x)∈]0;π[ <<>> kπ/n ∈ ]0;π[ <<>> k∈ ]0;n[ or k est un entier alors k ∈ [1;n-1] de plus on sait que sur ]-1;1[ θ est bijective donc pour tout entier k ∈ [1;n-1] il existe un unique réel xk=cos[kπ/n] tel que P'n(xk)=0 donc on peut conclure que P'n admet sur ]-1;1[ n-1-1+1=n-1 racines.(???)
Et pour les extremums?
Il y a déjà une erreur dans la première équivalence !! Et je te l'avais signalé.
Tu es sûr de ta définition de θ(x) ? En général, arccos est défini de [-1, 1] vers [0;π], puisque -1 et 1 sont bien des cosinus.
Pour les extrémums, c'est simple : Tu définis les valeurs de x. D'ailleurs c'est bien ce qui manque dans ta "preuve", puisque tu ne définis pas n-1 valeurs de x, seulement n-1 valeurs de θ(x). Tu pourrais quand même aller jusqu'au bout du calcul.
La démonstration précise nécessite d'être bien rédigée, pas avec des bouts de calculs entre des <==>. La preuve : tu es obligé ensuite de copléter ce que tu as écrit; donc ce n'était pas une équivalence :
" nsin[nθ(x)]=0 <<>> nθ(x)=kπ " ?? Ça n'a pas de sens, on ne sait pas qui est k. Et tu ne peux pas dire comme on peut le faire parfois que k est un entier quelconque, c'est faux.
Donc le mieux est de rédiger soigneusement, une ligne pour chaque propriété :
Posons P'n(x)=0 (1)
(1)<==> nsin[nθ(x)]=0 et sin[θ(x)]<> 0.
(1)<==> sin[nθ(x)]=0 car n>0 et θ(x) est dans ]0,π[, intervalle sur lequel sin ne s'annule pas.
(1)<==> nθ(x)= kπ où k est un entier
Comme 0< θ(x) <π, 0< nθ(x) <nπ, donc 0<k<n
(1)<==> nθ(x)= kπ où k=1, 2, ...,n-1
je te laisse finir ...
Merci encore pour votre aide, en fait c'est de ça que me reproche toujours mon prof: la clarté de l'écrit. Je continue:
Posons P'n(x)=0 (1)
(1)<==> nsin[nθ(x)]=0 et sin[θ(x)]<> 0.
(1)<==> sin[nθ(x)]=0 car n>0 et θ(x) est dans ]0,π[, intervalle sur lequel sin ne s'annule pas.
(1)<==> nθ(x)= kπ où k est un entier
Comme 0< θ(x) <π, 0< nθ(x) <nπ, donc 0<k<n
(1)<==> nθ(x)= kπ où k=1, 2, ...,n-1
(1)<==> θ(x)= kπ/n où k=1, 2, ...,n-1 car n>0
(1)<==> x= θ⁻¹(kπ/n) où k=1, 2, ...,n-1. Comme θ⁻¹ est la fonction réciproque de la fonction cosinus alors θ⁻¹=cos avec cos: ]0;π[ vers ]-1;1[ ainsi:
(1)<==> x= cos(kπ/n) où k=1, 2, ...,n-1 or on sait que kπ/n ∈ ]0;π[ et comme sur cet intervalle la fonction cosinus est bijective (je l'avais démontrer au début) donc pour tout entier k de (1, 2, ...,n-1) le réel cos(kπ/n) étant unique il existe un seul réel xk tel que P'n(xk)=0 de plus k décrit n-1-1+1=n-1 termes différents donc il existe n-1 réel xk distincts tel que P'n(xk)=0
Conclusion Pn atteint ses extremums en n-1 points dans l'intervalle ]-1;1[.
Ces points décrivent l'ensemble: {xk=cos(kπ/n) avec k ∈ (1;2;...;n-1)} et les extremums: {yk=Pn(xk)=Pn[cos(kπ/n)] avec k ∈ (1;2;...;n-1)}.
Dernière modification par Gohan. ; 01/04/2016 à 17h59.
" θ⁻¹ est la fonction réciproque de la fonction arccosinus"
Désolé erreur d'inattention merci la correction m'a bien aidée.
