Preuve de la série exponentielle par le binôme de Newton?

[invite8d7ff8ba]

Bonjour, j'aimerais démontrer que :



Cependant, je ne veut pas passer par le théorème de Taylor. J'ai essayé une expansion par le binôme de Newton mais je pense avoir un problème...



Mon problème viens lorsque je souhaite appliquer une limite à , lorsque il s'agit d'une forme indéterminée du type ou ... :/

Est-ce que mon raisonnement de départ permet d'aboutir à une conclusion (déterminer une limite) ?
Ou est-il possible de comparer les séries avec un entier quelconque fixé tel que en utilisant les bornes sup et inf puis faire tendre ?
Sinon, un autre moyen de prouver la série ^^ ?

Merci d'avance.
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[zenxbear]

ca c'est délicat à rédiger, mais le passage à la limite vers marche car les termes sont positifs croissants:
quand

(i) il ya un sens de l'égalité que tu cherche qui est trivial:
et donc en passant à la limite:



(ii) le sens inverse est plus délicat à rédiger. On FIXE , et on FIXE un entier

et je considère les 2 termes:
et

Pour chaque , quand , un terme converge vers , et donc devient plus grand que pour un "n assez grand".
ceci signifie que pour "n assez grand":


donc en passant à la limite en n:



ceci est vrai pour tout N , donc
ceci est vrai pour tout donc


On a donc démontré que est bien égal à [TEX]\sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{x^k}{k!}

[invite8d7ff8ba]

Je ne comprend pas pour le (je ne vois pas ce que ça montre) :/

Cependant, j'ai une question, est-il possible de majorer (ou de minorer) par :

?

[zenxbear]

ce produit est majoré par 1. ca découle du fait que et ca te donne le point (i), c'est à dire la partie triviale

donc

et si n tend vers l'infini,


la question est de minorer, mais tu ne peux pas minorer pour tout k et tout n, en effet:

si je prends k=n,

donc converge vers zero quand n converge l'infini. Ceci signifie que quand n temps vers l'infini, il reste toujours des termes ""qui sont très petis... et du coup tu peux pas minorer brutalemen.

du coup tu fixe un GRAND N, tu regarde uniquement la serie sur les N premiers termes en k, donc tu considere pour . comme pour k fixé, ce terme croit vers 1 quand n tend vers l'infini.
Tu peux choisir un "n" est assez grand, les termes produits dans ta somme FINIE jusqu'à GRAND N sont minorés par a, ou a est un nombre <1.

du coup tu peux minorer ton expression

dans le membre de droite le PETIT n a disparu. et là tu peux ecrire:

car les les termes sont positifs.

et comme ceci est vrai pour tout a et N, alors ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[zenxbear]

Bref, tu as utilisé les proprieties clefs de:
1/ positive
2/ croit si n augmente
3/ converge vers 1 si n converge vers l'infini

Ceci te permet d'inverser la somme et la limite dans l'avant dernière ligne de poste original (avant que tu te mettes à écrire )

L'argument qui justifie cette inversion de la somme et la limite, est démontré plus haut. C'est une variante discrète du théorème de Beppo levi dans le calcul intégral.

En plus, cette inversion n'est valable que tant que x est positif. Pour x négatif, ou complexe, on se ramène au cas positif, en jouant avec des modules.

[invite8d7ff8ba]

Du coup, on peut faire tendre mais que faire de ce nombre a ? Est-il possible de faire :
???

[zenxbear]

Ce que tu écris sur les 3 lignes est juste. Sauf que par manque d'expérience, tu veux mettre lim et sup partout. Que l'ont soit bien clair, il est impératif d'expliquer d'ou sort la première ligne, donc de justifier:

pour tout 0<a<1, et N fixés,

avec definit par ...

Personnellement je n’écris pas comme ca, je passe directement à la limite le membre de gauche avec "a converge vers 1" et "N vers l'infini".

[zenxbear]

un petit dessin et calculs pour expliquer.
Je prend x=1.


donc somme des 6 premiers termes donne une approximation <0.05% de e

si je fais de même avec l'autre série, en regardant les 6 permiers termes du developpement de

je trouve pour
n=10:
n=50:
n=500:

Sur le graphe, j'ai fait un tracé normalisé(?). La courbe rouge (n=50) passe par les points d'abicisse entières et d'ordonnée .



Il a fallu prendre n=200, pour que les 6 premiers termes de la série
soient supérieurs à a=0.95 fois les 6 premiers termes correspondants de la série .

D'une autre manière, pour a=0.95, et N=5 fixés. On peut prendre un n assez grand (au delà de > 200) pour être sûr que
et donc que

Sur le graphe, tu peux voir que si je choisis a=0.95 et N=7, il faut pousser au delà de 500.

au passage