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Fonction opposée, paire, impaire : symétries



  1. #1
    heyheyheyh

    Fonction opposée, paire, impaire : symétries


    ------

    Bonjour à tous,


    1)Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R. Comment prouver que la représentation graphique (r.g) de la fonction g : x-> -f(x) et la r.g de f sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?

    2)Comment prouver que pour la r.g d'une fonction f paire, on a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ?

    3) Comment prouver que pour la r.g d'une fonction f impaire, on a une symétrie par rapport à l'origine du repère ?

    Merci

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Bonjour.

    Dans les trois cas, il suffit de partir du fait que le point courant de la courbe de f est M(x, f(x)). Par exemple pour la première, comparer les points M(x,f(x)) et N(x, -f(x)).

    Bon travail !
    Dernière modification par gg0 ; 20/07/2016 à 20h29.

  3. #3
    heyheyheyh

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Merci gg0

    je vois bien l'explication graphique, mais je voudrais le montrer "algébriquement".

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Mais c'est ce que je te propose !!
    N'importe comment, tu ne peux pas éliminer la géométrie, puisque tu parles de courbes. Je t'ai proposé de la restreindre à la définition algébrique de la courbe. Etbien sûr, à la traduction algébrique des symétries.

    Après, si tu ne veux pas faire la preuve toi-même, comme elle est dans plein de documents mathématiques (cours, polycops, pdf, ...), tu la trouveras facilement. Mais ça ne sert à rien si on n'essaie pas soi-même.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    heyheyheyh

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Je suis bien d'accord avec toi, ça ne sert à rien si on ne fait pas par soi-même

    C'est juste que la "démonstration" me paraît du coup immédiate : les points M(x,f(x)) et N(x, -f(x)) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on le "voit". Et je n'ai pas l'impression de le démontrer en disant ça mais : ça suffit ?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Pourquoi une preuve devrait-elle être compliquée ?
    Ici, on applique la définition de courbe plus la propriété des coordonnées de points symétriques par rapport à Ox.
    D'ailleurs, peux-tu rappeler ces trois théorèmes sur les coordonnées de 2 points symétriques par rapport
    * à O
    * à Ox
    * à Oy ?
    Bien évidemment en termes algébriques.

    Cordialement.

  8. #7
    heyheyheyh

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Edit après un peu plus de réflexion ^^ :
    2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0 <=> x2 = - x1 et y2 = - y1
    2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0x <=> x2 = x1 et y2 = - y1
    2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0y <=> x2 = - x1 et y2 = y1

    C'est juste ?
    Dernière modification par heyheyheyh ; 21/07/2016 à 10h06.

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction opposée, paire, impaire : symétries

    Oui, c'est bien ça.

    Ce sont des évidences, mais ça peut se démontrer à partir des définitions des symétries et des propriétés de base en géométrie analytique (essentiellement coordonnées du milieu d'un segment).

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