Démontrer une équivalence

[invite102b12a0]

Bonjour,


Je cherche à démontrer l'équivalence qui était dans mon topic précédent mais je rencontre un petit problème.
L'équivalence à démontrer:


Je commence donc par démontrer l'implication suivante:

Donc ici pas de problème.



En revanche pour la deuxième implication je rencontre un petit problème par rapport à la définition de la fonction logarithme népérien.


Voici mon raisonnement:

Pour tout entier relatif on a
Soit , , et des entiers relatifs.















Le problème est ici, on ne sait pas si est réel et même si il était réel on ne connait pas son signe.












Donc

Ainsi mes questions sont:

- Existe t-il une définition de la fonction logarithme népérien pour les nombres complexes ? Si oui permet-elle de faire la simplification que j'ai fait ?
- Pouvais vous m’aiguiller sur une autre manière de faire cette démonstration ? car je pense qu'en contrôle ça ne passerait pas d'utiliser la fonction ln d'une manière hors programme.


Merci
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[invite51d17075]

bonjour rrricharddd,
il me semblait que tu avais eu ta réponse dans ton fil sur les racines de l'unité.

En revanche pour la deuxième implication je rencontre un petit problème par rapport à la définition de la fonction logarithme népérien.


..........

il est inutile de passer par les log ensuite, en plus il s'agirait ici d'un log de complexe, ce qui est particulier ( probablement pas encore vu en cours )
soit donc k'=k+m avec

k'-k=an+b (0<=b<n )
et

et

[gg0]

Bonjour Rrricharddd.

le cœur du problème est l'identification des deux complexes égaux dans

Pour le premier, tu connais son module (1) et ses arguments, qui sont les multiples de 2pi. Pour le deuxième, le module (non écrit) est 1 et tu as un de ses arguments, qui est donc un des multiples de 2pi. Tu écris ça et c'est fini.
On n'utilise ici que les définition de terminale.

Cordialement.

NB : Je n'avais pas développé cette partie dans l'autre discussion, croyant que tu savais traiter l'égalité de deux complexes.

[invite102b12a0]

Merci encore de vos réponses

Oui effectivement j'ai été bête, au lieu d'utiliser le logarithme népérien il suffisait simplement de dire que si deux nombres complexes sont égaux ils ont le même argument et le même module

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ac034dd]

Je ferme le sujet, merci.