[DM TS] Encadrement d'une suite

[invite7ffbd046]

Bonjour,

Je m'arrache les cheveux depuis hier sur un problème qui pourtant me semblait évident au premier abord, à cours de solutions, j'ai donc décidé de m'en remettre à vos conseils.

Enoncé :

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On pose, pour n>0 :

1. Montrez que, si ,
2. En déduire un encadrement de u_n
3. Quelle est la limite de cette suite ?

J'ai bien réussi la question 1, en montrant que comme on avait , puis que comme la fonction carré était croissante sur , et que par conséquent les images étaient rangées dans le sens des antécédents on avait , et enfin que comme la fonction inverse était décroissante sur , et que par conséquent les images étaient rangées dans le sens contraire des antécédents, on arrivait bien à l'inégalité de l'énoncé.

Pareil pour la question 3, même si ce n'est pas la méthode attendue, comme on ne fait qu'additionner des nombres de la forme entre eux, et comme (selon les suites de référence) , par addition de limites on a .

C'est la question 2 qui me pose problème, je vois bien qu'il faut encadrer u_n entre deux suites ayant pour limite 0 (donc probablement des inverses de carrés) pour pouvoir appliquer le théorème des gendarmes et conclure, mais je n'arrive pas à trouver un tel encadrement. Le plus proche que j'ai trouvé est , mais je n'arrive pas à faire passer u_n au milieu. Plus je réflechis et plus je me dis que la solution est évidente, mais je n'arrive vraiment pas à la voir.

Quelqu'un aurait il la gentillesse de m'éclairer ?

Merci d'avance !
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[zenxbear]

ta réponse à la question 3 est juste, mais ton explication est bidon. certes u_n est formée par l'addition de termes petits qui convergent vers zero quand n converge vers l'infini. Néanmoins, u_n est formé de l'addition de n de ces termes. donc un nombre croissant vers l'infini. Il faut bien faire un argument plus fin, qui utilise l'encadrement posé à la question 2.

la question 2 découle directement de la question 1. tu as u_n somme de termes, ces termes sont encadrées par la question 1...

[invite7ffbd046]

Merci de ta réponse, mais je ne vois vraiment pas.

J'avais pensé à encadrer u_n entre 0 et autre chose, mais je n'arrive pas à trouver cet "autre chose". J'ai également réussi à trouver selon ce que tu m'as dit, mais cela ne m'avance pas beaucoup puisque les deux suites encadrant u_n ont des limites différentes

[zenxbear]

il sort d'ou ce 1+1/n^2.

u_n est la somme de n termes, chacun d'eux est majoré par 1/n^2. donc u_n est majoré par ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffbd046]

il sort d'ou ce 1+1/n^2.



u_n est la somme de n termes, chacun d'eux est majoré par 1/n^2. donc u_n est majoré par ...

n (1/n^2) ?

Desole mais on n'as pas encore abordé les majorations en cours.

[zenxbear]

is x< a et si y<a
alors x+y< a+a = 2a

t'as pas besoin d'un cours pour ca. tu as ta majoration maintenant.

[invite51d17075]

tu as encadré un terme qcq de ta somme 1/(n+k)²
ta somme contient (n+1) termes
elle est donc facile à encadrer , non ?

[invite7ffbd046]

Ah, je comprends maintenant.
Merci !