Paraboles du second degré .

[Chmiman]

Bonjour, j'ai des questions spéciales mais qui me bloquent dans les maths et je cherche à les résoudre ou je quelqu'un m'explique différent un point .

Dans une fonction PSD (polynôme second degré ) , on a une parabole , c'est comme ça je dois le dire . Mais , si on enlève toutes les paraboles dont le sommet est 0 , je me pose des questions sur les autres . La suite va être compliquée à suivre je vais essayer de m'exprimer le mieux possible . Par exemple, j'ai ma parabole quelconque qui est tournée vers le haut ou bas peut importe , et cette parabole a un sommet , mais pourquoi la parabole change elle soudain de sens quand on passe le sommet , pourquoi quand on passe ce x= -b/2a on change de variation ? Car quand on prend une parabole d'équation ax^2 ,le sommet est en 0 et quand on passe à x =1 on change par rapport à x=-1 avant le sommet , vous comprenez ?

Deuxième question , vu que la parabole est symétrique à son axe ça veux dire que la fonction a toujours 2 solutions en x pour un meme y . Et je ne trouve pas le lien entre les deux x différents type x=-0,8 et x= 2,45 avec comme résultat le meme y , cela dépend il de la fonction en elle même ?


Je suis très flou je sais bien que c'est compliqué de comprendre , mais en résumé je comprend pas pourquoi la parabole change soudain de sens après le sommet .


Merci de vos réponses
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[OllyH]

Salut !
Le "sommet" d'une parabole est le point où la dérivée de la fonction s'annule.
Soit

Alors

Si on remplace par , on obtient

Or on sait que la dérivée d'une fonction s'annule toujours à un extremum local. En l'ocurrence une parabole n'a qu'un minimum ou qu'un maximum, donc c'est au point que la courbe est 'la plus haute' ou 'la plus basse'


Pour avoir les deux solutions pour un même y c'est une utilisation de formules :

On veut donc résoudre

Autrement dit on veut résoudre



Si il n'y a aucun qui convient, l'équation n'a pas de solutions réelles

Si il n'y a qu'une seule solution à l'équation qu'on note

Si il y a deux solutions à l'équation qu'on note et

C'est ça le lien entre 'les différents x'

[Chmiman]

Merci énormément ! Il n'y a pas mieux comme réponse , vous me sauvez ! Merci infiniment !

[OllyH]

Il n'y a pas de quoi !
Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir Ollyh,

Bien qu'ici cela ne remette pas en cause votre raisonnement pour le cas d'une fonction du second degré, la phrase ci-dessous est fausse:

Or on sait que la dérivée d'une fonction s'annule toujours à un extremum local

La proposition correcte est qu'une fonction dérivable en un extremum local y possède une dérivée nulle. Pour contre-exemple à votre proposition, je peux prendre par exemple la fonction f(x) = x³ dont la dérivée est f'(x) = 3x². Cette dérivée s'annule en 0, mais 0 n'est pas un extremum local de f(x) = x³...

[OllyH]

Bonsoir,
Merci pour la correction, j'avais ce contre exemple en tête et je doutais de comment formuler ça !