Loi exponentielle

[invited78e5f39]

Bonjour,

Dans un exercice je dois définir lamba et miu afin de faire des calculs ensuite, mais j'ai du mal a definir lamba...

Voici l'énoncé :

En moyenne, une machine tombe en panne toutes les trente heures. Il y a huit machines.

En moyenne, Rebecca, en charge de réparer les machines, prend 4 heures pour en réparer une.

Voici ce que j'en ai déduit :

Miu = 1 machine par 4 heure = un quart de machine par heure = 0,25

Quant à lamba le taux d'accident par heure, je ne sais pas s'il est de 1/30 ou de 8/30 comme il y a huit machines... Pourriez vous m'eclairer ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Ton énoncé est mal fichu. C'est "en moyenne chaque machine ..." ou en moyenne, il y a une machine en panne toutes les trente heures ..." ? Dans le premier cas, Rebecca travaille à plein temps, dans le deuxième, elle peut faire d'autres choses.
Un problème cependant : pendant le temps de réparation d'une machine, elle ne peut pas tomber en panne !!

Autre chose : Tu ne dis pas qui sont lambda et mu !!

Cordialement.

[invited78e5f39]

Bonjour,

En moyenne, chaque machine tombe en panne toutes les 30 heures. Et il y a huit machines...

Et en fait ensuite on me demande de faire des calculs ou les formules comprennent un lamba et un miu donc j'essaie de les définir mais ca n'est pas evident... Pourriew vous m'aider à fixer ces deux inconnus ? Merci

[invite51d17075]

pour le lambda, dont tu sembles donner la définition, on peut supposer qu'il faut tenir compte des 8 machines.
le "mu" ? il doit bien être quelque part dans ton cours.
ce symbole est parfois utilisé en tant qu'espérance mathématique. ( mais de quoi ici, si c'est le cas ?)
mais j'ai comme l'impression que tu ne donnes pas TOUT ton énoncé , surtout depuis le début.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je suis encore une fois d'accord avec gg0.
La loi exponentielle n'est applicable que dans un contexte de durée de vie. Il y a deux exemples classiques, les ampoules électriques et les molécules radioactives. C'est ainsi que l'on parle de demie-vie.
Dans le cas présent, les machines ne sont pas "mortes" mais ont besoin d'une petite révision (ou réparation).

A mon avis, c'est un exercice très difficile qui nécessite une bonne connaissance des probabilités et pas simplement l'application de formule. Pour mémoire un exercice du même genre a été posé il y a quelques années, je n'ai pas vu de réponse correcte.

[invited78e5f39]

Mon énoncé est en anglais donc c'est pour ca que je ne l'ai pas posté mais je vais vous le traduire en entier ci dessous :

L'étage de production contient un total de 8 machines. Il arrive que ces machines tombent en panne de temps en temps. Une seule personne est mandatée afin de les réparer, Rebecca. En moyenne, Rebecca a besoin de 4 heures pour réparer une machine.
Dans le but d'estimer le temps moyen ou une machine n'est pas fonctionnelle, on présume qu'en moyenne, chaque machine tombe en panne toutes les 30 heures.

On me demande d'abord, pourquoi est ce que le temps de service de Rebecca (temps de réparation) suit une loi exponentielle ?

De plus, je sais que :

Lambda = Taux d'occurence d'une panne
Mu = Taux de service

Et avec les données je dois definir ces deux variables...
Je suis plutot sure que mu = 1 machine réparée en 4 heure = 0,25 reparation par heure
Mais c'est pour lamba ou je bloque, pourquoi s'agirait il de 8/30 plutôt que 1/30 ? :S

[invite51d17075]

De plus, je sais que :

Lambda = Taux d'occurence d'une panne
Mu = Taux de service

pour Lambda, le chiffre qui semble compter serait plutôt celui d'une panne DANS le service. sinon le chiffre 8 ne sert à aucun de tes calculs.
mais il se peut que ce soit ton interprétation.
pour le taux de service : je pense qu'il s'agit du temps d'occupation moyen de Rebecca, qui est correspondrait bien à une espérance.

enfin, la nature exponentielle vient probablement de ce dernier calcul ( exponentielle en fct du nb de machines )

[gg0]

Ok.

Voici une idée que tu dois connaître : les moyennes des variables aléatoires s'additionnent.
Si X1, X2, ...X8 sont les nombres de pannes par heure des 8 machines, et que chacune de ces variables a pour moyenne 1/30, alors le nombre total de pannes par heures X1 + X2 + ... + X8 a comme moyenne 1/30+1/30+ ...+1/30=8/30.

J'ai quand même un doute, qui dépend de la façon de noter la loi exponentielle : en général, lambda n'est pas la moyenne, mais le paramètre, qui est d'ailleurs l'inverse de la moyenne. Par exemple voir Wikipédia. vérifie dans ton cours.

Cordialement.

[invite51d17075]

si j'interprète correctement le mu comme l'éspérance, qui donne le taux d'occupation moyen de la technicienne.
je pars du principe que les machines sont réparée après.
donc sachant que la proba qu'une machine tombe en panne un jour est de 1/5 ( en supposant 8h / jour ).
il faut donc en premier calculer les probas de :
-1 machine le même jour
-2 machines le même jour.
etc...

enfin c'est ainsi que je comprend cet énoncé pas très bien foutu. (euphémisme )
mais comme j'arrive à un résultat qui a du sens, .......

[Dlzlogic]

Bonjour,
"On me demande d'abord, pourquoi est ce que le temps de service de Rebecca (temps de réparation) suit une loi exponentielle ?"

Réponse : parce qu'elle ne s'en sort pas.
J'avoue que je l'ai compris en faisant une simulation.

[invite51d17075]

pour moi non,
sa "loi du temps" pas jour : espérance ( si ma modélisation est à peu près correcte ) est proportionnelle au nb de machines.
pour 8 machines, on tombe sur environ 6,5 heures / jours.
mais je ne tiens pas compte du fait qu'une machine en réparation n'est pas sensée re-tomber en panne en même temps.
là, le modèle me semble un peu infernal.
ps : calcul à disposition !

[Dlzlogic]

Bonjour,
Mille pardons, je me suis trompé dans mes calculs hier.
Rébecca s'en sort très bien. Donc, je ne comprends pas pourquoi son temps de service suivrait une loi exponentielle.
J'ai observé jusqu'à 12 heures de charge de travail, mais une machine en réparation ne peut pas tomber en panne, puisqu'elle ne tourne pas.

[invite0b618583]

Je me demande bien comment on peut faire des simulations sans connaître la loi...

La loi exponentielle est une loi "sans mémoire". La proba qu'il se produise quelque chose entre maintenant et dans 5' est la même que celle qui se produise quelque chose entre dans 5' et dans 10' sachant qu'il ne s'est rien produit avant.
Donc ça modélise bien :
- le temps de vie de quelque chose qui n'a pas de vieillissement intrinsèque, juste un proba "constante" de mourir dans la seconde qui suis
- le temps entre deux arrivée de personne indépendantes (hypothèse archi-typique dans le cas de file d'attente)


Je ne vois pas pourquoi on modéliserait le temps de réparation d'une machine par une loi exponentielle.

Mais comme d'autres je trouve le sujet très peu clair... Peut-être que la version originale complète serait plus parlante ?

[invite51d17075]

Je ne vois pas pourquoi on modéliserait le temps de réparation d'une machine par une loi exponentielle.

Mais comme d'autres je trouve le sujet très peu clair... Peut-être que la version originale complète serait plus parlante ?

c'est certain, mais oceane n'est pas revenue pour nous donner des explications , ou mieux un corrigé de son exercice, que l'on peut interpreter de différentes manières.

[invite51d17075]

de mon coté , j'ai simplement fait un calcul d'espérance ....
qui est linéaire / nb de machines, en premier calcul simple.
j'arrive à env 6,64 h par jour. ( par hasard, j'arrive à un chiffre "logique" )
sans tenir compte des effets cumulatifs ( file d'attente, etc .. ), par ex du nb de machines à dispo sur x sont en pannes en même temps.
maintenant , je ne sais pas à quel niveau se situe le pb d'Océane.
parce que ça peut devenir très compliqué comme l'a fait remarquer Dzlogic !

[invite51d17075]

bref, un pb de bac +1 ou 2 , ou un pb de modélisation genre master ???