probabilités

[invite4ac61d3e]

Salut,
Voici une question du bac de mathématiques 2005 que je n'ai aps compris

Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.


Quelqu'un pourrait m'expliquer, car je ne comprends pas la correction, comme par exemple le fait qu'il y a 286 triplets possibles(commen trouve-t-on cela ),pourquoi p(X=0)=1/286, p(X=1)=30/286
Je vous remercie d'avance de prendre le temps de m'expliquer, c'est vraiment sympa.
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[shokin]

On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes choisies.

De billes rouges, je suppose.

Pour déterminer la loi de probabilité, il faudra calculer, selon les indications données :

la probabilité de tirer 0 boule rouge
la probabilité de tirer 1 boule rouge
la probabilité de tirer 2 boules rouges
et la probabilité de tirer 3 boules rouges.

Dans la boîte cubique, tu as 13 boules, il y a donc :

13!/(10!3!) = 286

tirages possibles de 3 boules parmi 13 boules, indépendamment de la couleur et de l'ordre.

En effet, si tu tires 1 boule seulement, tu auras 13 possibilités. Si tu tires 2 boules, tu auras 13*12 possibilités, etc. Mais comme tu les tires en même temps, l'ordre n'importe pas, tu dois alors diviser encore par par n! (avec n le nombre de boules). [Si tu tires trois boules l'une après l'ordre, tu as 3! ordres possibles. Si les tires en même temps, il n'y a qu'un ordre possible.]

Prenons alors comme question première : quelle est la probabilité de tirer 0 boules rouges ?

Pour cela, je dois tirer 3 boules vertes. Comme il y a exactement trois boules vertes, il n'y a qu'une possibilité sur les 286 de tirer 0 boules rouges. D'où le 1/286.

Et ainsi de suite.

Shokin

[invite636fa06b]

Quelques précisions sur l'énoncé :
1 il s'agit de tirages sans remise (on ne remet pas la boule après l'avoir tirée)
2 On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.

286 = 13 x 12 x 11 /(1 x 2 x 3)
Imagine que tes boules soient numérotées, tu as 13 possibilités pour la première, 12 pour la seconde, 11 pour la troisième. Mais alors tu comptes comme deux tirage les mêmes boules tirées dans un ordre différent. Par exemple, 4-10-2 et 10-4-2 donnent le même résultat mais sont comptés comme deux tirages différents. Pour neutraliser ça, il faut diviser le nombre obtenu par 6 qui est le nombre de façons d'obtenir le même résultat.
Au final si k est le nb de boules tirées et n le nombre total dans la boite , le nb de possibilités est

Pour le reste c'est la même logique, sur tes trois tirages, tu veut sortir par exemple une rouge (X=1), donc forcément deux vertes, le nombre de possibilités pour la rouge est

et pour les deux vertes

.
Cela fait donc 10 x 3 =30 "cas favorables".
Etc...