Nombres complexes et récurrence

[invite51d17075]

comprend pas ta deuxième ligne.
lien direct entre Z(3n+3) et Z(3n+1) !
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[invite9bb4bf6d]

je suis partie de l'expression de planèteF

[invite51d17075]

Ha, OK.
tu ecris quand même beaucoup de lignes pour rien ( les dernières )
je t'avais suggéré un calcul "en avançant" :





d'où
d'où
et

[invite9bb4bf6d]

Oui c'est vrai que j'aurais pu faire plus court, mais je suis arrivée au bon résultat quand même..
Pour le 2, comme 2016 est multiple de 3, Z2016 =Z0

Mais le 3...
pour des valeurs telles que Z0=Z1 je suis partie du principe que Z0=1-1/Z0 j'ai posé Z0=a+ib et donc (a+ib)=1-1/(a+ib) <-> (a+ib)²=0 <-> a²-b²+2aib=0
<-> a²-b²=0 ou 2aib=0 donc soit a=0 ou b=0
mais comme dans l'énoncé on nous dit que z0 doit être différent de 0 je suis perdue, et pour la suite (Zn) je n'ai aucune idée..

[invite51d17075]

et donc (a+ib)=1-1/(a+ib) <-> (a+ib)²=0 ..

c'est faux......
sinon tu peux aussi ramener l'équation de départ à une équation du second degré en Z simplement, avec deux résultats dans C.

[invite9bb4bf6d]

Je pars de Z1=1-1/Z0 ? ou Z0=1-1/Z0?

[invite51d17075]

du deuxième bien sur.
Cdt

[invite9bb4bf6d]

Je comprends pas pourquoi j'ai faux :/
si je pose Z0=a+ib
a+ib=1-1/(a+ib)
et donc (a+ib)(a+ib)=1-1=0
a²+2iba-b²=0
delta=(2ib)²-4*1*(-b²)=2b²
et je continue avec ça?

[invite51d17075]

Je comprends pas pourquoi j'ai faux :/
si je pose Z0=a+ib
a+ib=1-1/(a+ib)
et donc (a+ib)(a+ib)=1-1=0

non, ton calcul est faux
tu obtiens : ( en multipliant les deux cotés par (a+ib) )
(a+ib)(a+ib)=(a+ib)-1 ( et pas 1-1 )
soit
Z²=Z-1 et donc l'équation Z²-Z+1=0 ....

[invite9bb4bf6d]

ah oui, c'est tout de suite plus simple pour trouver les racines : (1+/-i rac(3)) /2

[invite9bb4bf6d]

mais je ne vois pas comment ça m'aide à répondre sur ce qu'on peut dire de la suite

[invite51d17075]

d'une part ces valeurs correspondent à des connues , quels angles?
ensuite si Z1=Z0 , que peut on dire de Z2,Z3, etc ...... ( puisqu'on applique la même formule à chaque fois )

[invite9bb4bf6d]

Je n'ai pas encore vu les exponentielles

[invite51d17075]

OK ,
alors tu as trouvé (1+/-irac(3))/2, cela donne des
( pour info , c'est cela qu'on exprime sous la forme )

et pour la nature de la suite ?

[invite9bb4bf6d]

ce qui me donne x1= 1/2 + rac(3)/2*i et x2= 1/2 - rac(3)/2*i

Peut-être une suite arithmético-géométrique?

[invite51d17075]

Peut-être une suite arithmético-géométrique?

qu'est ce que tu inventes ?
tu trouves
Z1=Z0=1-1/Z0
que vaut Z2 ?

quand aux angles tu ne reconnais pas des cos et sin connus dans 1/2 et +/- rac(3)/2 ?

[invite9bb4bf6d]

Z2 vaut 1-1/Z0 donc Z2 vaut Z1 et donc Z0?

Cos 1/2=pi/3 rad et sin rac(3)/2 = pi/6 rad

[invite51d17075]

oui pour les Z, donc la suite est comment ? si tu fais le même raisonnement pour Z3, etc ?

pour les angles, tu te mélanges les pinceaux.
je te donne les solutions (*)
tes deux résultats d'angle sont pi/3 et -pi/3, d'ou les deux Z solutions.
cos(pi/3)+isin(pi/3) et
cos(-pi/3)+isin(-pi/3)

(*) je te les donnes par ce que tu ne réfléchis pas assez par toi même et qu'au final on est obligé de faire tout le boulot à ta place. ( voir la longueur du fil )
et que je suis comme tout le monde, pas le temps d'y passer des heures.

[invite9bb4bf6d]

On peut déduire que pour tous les Z = Z0 donc c'est une suite constante puisque un+1=un
Oui! Cos pi/3 rad=1/2 et sin pi/6 rad= rac(3)/2, mais en quoi c'est utile ?

[invite51d17075]

c'est sin(pi/3) qui vaut rac(3)/2 !
ça n'est utile que si tu souhaites exprimer que tu comprends que les solutions correspondent à des valeurs connues du cercle trigonométrique.
mais si tu t'en fou, tu t'en fou !
c'est pas mon problème;

[invite9bb4bf6d]

Non j'essaie de comprendre le rapport entre le cercle trigonométrique et la suite ...

[invite51d17075]

la suite au sens général est simplement une suite de nb complexes. ( qui a entre autre la propriété Z(n+3)=Zn )
ce sont les solutions de Z0 qui donnent une suite constante qui correspondent à des valeurs remarquables sur le cercle.
c'est uniquement ce point là.