Nombres complexes et récurrence

[invite9bb4bf6d]

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire pendant les vacances, et je ne dirais pas non pour un peu d'aide...

"On considère les nombres complexes Zn définis pour tout entier n ≥ 0, Z0 est différent de 0 et de 1 : Zn+1=1 - 1/Zn
1.a On suppose que Z0=2, déterminer Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6
1.b On suppose que Z0=i, déterminer Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, sous forme algébrique
1.c On revient au cas général où Z0 est un complexe donné, que peut on conjecturer pour les valeurs prises par Z3n selon les valeurs de l'entier naturel n? Prouver cette conjecture
2 Déterminer 2016 où Z0=1+i
3 Existe-t-il des valeurs où Z0=Z1? Que peut-on dire de la suite (Zn) dans ce cas?"

J'ai fait la question 1a
pour Z1 et Z4 j'ai trouvé 1/2, pour Z2 et Z5 j'ai trouvé -1 et pour Z3 et Z6 j'ai trouvé 2
et la question 1b
Z1 et Z4 =1+i Z2 et Z5=1/2+1/2i et Z3 et Z6=i

Pour la 1c qu'est ce qu'on attend de moi?

Merci de vos réponses
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Que constates-tu pour z_3n par rapport à z₀ ? (Tu as les bons résultats en plus )
La conjecture est alors toute trouvée. Il te suffit de la démontrer en partant de z₀=a+ib et de vérifier étape par étape que tu retombes bien bien sur la conjecture établie.

Cordialement,
Duke.

[invite9bb4bf6d]

Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?

[PlaneteF]

Bonjour,

Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?

Vu les exemples que tu as toi-même calculé, manifestement ce n'est pas le cas.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9bb4bf6d]

Comment ça pour 1.a on donne z0=2 et je trouve pour Z3 et Z6 =2
et au 1.b pour z=i je trouve le même résultat pour Z3 et Z6
donc les multiples de 3=Z0

[invite51d17075]

Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?

attention à tes parenthèses.!!!
ta récurrence consiste à montrer que

[PlaneteF]

Comment ça pour 1.a on donne z0=2 et je trouve pour Z3 et Z6 =2
et au 1.b pour z=i je trouve le même résultat pour Z3 et Z6
donc les multiples de 3=Z0

Oui mais dans ces 2 cas tu ne trouves pas égale à , ... contrairement à ce que tu suggères dans ton message#3 et qui est donc faux.

Cdt

[invite9bb4bf6d]

Oui je vois ce que vous voulez dire, j'aurais du marquer Z3=Z0 et Z3(n+1)=Z0

[invite9bb4bf6d]

Pour la récurrence je pose :
P(n): Z3n=Z0
I: P(n) vraie pour n=0 car Z3*0=Z0
H: On suppose P(n) vraie, dmq P(n+1) l'est encore
H Z3n=Z0
C Z3(n+1)=Z0

Z3(n+1)=1-1/Z3n=1-1/Z0=Z0/Z0-1/Z0=(Z0-1)/Z0
et là je bloque...

[PlaneteF]

Z3(n+1)=1-1/Z3n

Ben non ! ... Relis le message#6 de ansset.

Cdt

[invite9bb4bf6d]

ah oui comme z0=Z3n, si Z3n+1=Z0=Z3n

[invite9bb4bf6d]

Pouvez vous me donner une piste sur la démarche?

[PlaneteF]

ah oui comme z0=Z3n, si Z3n+1=Z0=Z3n

... Hein ? ... Keksaveudir ?

[invite51d17075]

@erosed:
tu ne peux pas "poser" ce que tu dois démontrer !
et pour te faciliter la vie je t'invite à regarder simplement les expressions de
en fct de puis
en fct de et enfin
en fct de et donc de conclure.

[invite9bb4bf6d]

Si z3n=Z0 on veut savoir si c'est possible pour toutes les valeurs de n, et donc si Z3(n+1)=z0?

[PlaneteF]

Pouvez vous me donner une piste sur la démarche?

Soit . Tu supposes que (c'est ton hypothèse de récurrence), ... et tu dois montrer que

Donc cela donne : qui par définition vaut


Je te laisse le soin de poursuivre.

Cdt

[invite9bb4bf6d]

J'ai trouvé.. 1-1/(Z3n+2)=1-1/(Z0+2)=1-1/Z2=Z3n où n vaut 1?

[PlaneteF]

J'ai trouvé.. 1-1/(Z3n+2)=1-1/(Z0+2)=1-1/Z2=Z3n où n vaut 1?

Rebelote,

[invite9bb4bf6d]

Z3n+3=1-1/Z3n+2
Z3n+2=1-1/Z3n+1
Z3n+1=1-1/Z3n=1-1/Z0

Z3n+1=Z1
Donc Z3n+2=1-1/Z1=Z2
et Z3n+3=1-1/Z2=Z3

[PlaneteF]

Mais que c'est fouillis.

Z3n+3=1-1/Z3n+2
Z3n+2=1-1/Z3n+1

Et ben injecte la 2e ligne dans la 1ère, ... et refais la même opération ensuite.

Cdt

[invite9bb4bf6d]

Ce qui donne 1-1/(1-1/Z3n+1)?

[PlaneteF]

Enchaîne, enchaîne, ... ("enchaîne my heart" comme le chantait Joe Cocker )

[invite9bb4bf6d]

Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=1-1/[1-1/(1-1/Z0)]=1-1/(1-1/Z1)=1-1/Z2=Z3

[PlaneteF]

Tu me fatigues avec tes , et

Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]

Et ben simplifie au fur et à mesure, calcule proprement, ... et tu ariveras ainsi à

Et vu que par hypothèse de récurrence et ben tu en déduiras que , ... et c'est bien ce quil faut démontrer !


Cdt

[invite9bb4bf6d]

Comment simplifier?

[PlaneteF]

Comment simplifier?

Par exemple en utilisant :

Donc :

[invite51d17075]

Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=1-1/[1-1/(1-1/Z0)]=1-1/(1-1/Z1)=1-1/Z2=Z3

soit tu l'écrit comme ça mais....
tu n'a pas montré que Z3=Z0 ! ( c'est ta conjecture de base )
ce qui revient à faire le calcul de base des 3 itérations.
c'est un peu pour ça que je t'avais suggéré plus haut de simplement montrer que
en remplaçant à chaque fois par l'indice inférieur.
ce qui implique directement le résultat attendu.

soit tu suis la voie de PlanèteF et tu montres directement par le calcul que
1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=Z3n

ça revient au même.

[invite9bb4bf6d]

Par exemple en utilisant :

Donc :

Z3n+1=1-1/Z3n=(Z3n -1)/Z3n

Z3n+3=1-(Z3n+1)/(Z3n+1 -1)=
1- [(Z3n -1)/Z3n] / [(Z3n -1)/Z3n -1)]=
1-[(Z3n -1)/Z3n]/[(Z3n-1-Z3n)/Z3n]=
1-(Z3n -1)/Z3n *Z3n/-1= Z3n*(Z3n -1)/-Z3n=
1-(Z3n -1)/-1=
1+(-Z3n +1)/-1=
(-1-Z3n +1)/-1=
-Z3n/-1=
Z3n

J'y suis arrivée?

[invite51d17075]

probablement, mais sans les parenthèses derrière les Z , c'est illisible.

[invite9bb4bf6d]

Z{3n+1}=1-1/Z{3n}=(Z{3n} -1)/Z{3n}

Z{3n+3}=1-(Z{3n+1})/(Z{3n+1} -1)=

1- [(Z{3n} -1)/Z{3n}] / [(Z{3n} -1)/Z{3n} -1)]=

1- [(Z{3n} -1)/Z{3n}] / [(Z{3n}-1-Z{3n})/Z{3n}]=

1- (Z{3n} -1)/Z{3n} * Z{3n}/-1=

1- Z{3n} * (Z{3n} -1)/-Z{3n}=

1- (Z{3n} -1)/-1=

1+(-Z{3n} +1)/-1=

(-1-Z{3n} +1)/-1=

-Z{3n}/-1=

Z{3n}