Nombres complexes et récurrence
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Nombres complexes et récurrence



  1. #1
    erosed

    Nombres complexes et récurrence


    ------

    Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire pendant les vacances, et je ne dirais pas non pour un peu d'aide...

    "On considère les nombres complexes Zn définis pour tout entier n ≥ 0, Z0 est différent de 0 et de 1 : Zn+1=1 - 1/Zn
    1.a On suppose que Z0=2, déterminer Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6
    1.b On suppose que Z0=i, déterminer Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, sous forme algébrique
    1.c On revient au cas général où Z0 est un complexe donné, que peut on conjecturer pour les valeurs prises par Z3n selon les valeurs de l'entier naturel n? Prouver cette conjecture
    2 Déterminer 2016 où Z0=1+i
    3 Existe-t-il des valeurs où Z0=Z1? Que peut-on dire de la suite (Zn) dans ce cas?"

    J'ai fait la question 1a
    pour Z1 et Z4 j'ai trouvé 1/2, pour Z2 et Z5 j'ai trouvé -1 et pour Z3 et Z6 j'ai trouvé 2
    et la question 1b
    Z1 et Z4 =1+i Z2 et Z5=1/2+1/2i et Z3 et Z6=i

    Pour la 1c qu'est ce qu'on attend de moi?

    Merci de vos réponses

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Bonjour.

    Que constates-tu pour z3n par rapport à z0 ? (Tu as les bons résultats en plus )
    La conjecture est alors toute trouvée. Il te suffit de la démontrer en partant de z0=a+ib et de vérifier étape par étape que tu retombes bien bien sur la conjecture établie.

    Cordialement,
    Duke.

  3. #3
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?

  4. #4
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Bonjour,

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?
    Vu les exemples que tu as toi-même calculé, manifestement ce n'est pas le cas.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h05.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Comment ça pour 1.a on donne z0=2 et je trouve pour Z3 et Z6 =2
    et au 1.b pour z=i je trouve le même résultat pour Z3 et Z6
    donc les multiples de 3=Z0

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3n=Z0 donc je dois prouver que z3n+1=Z0 en utilisant la récurrence?
    attention à tes parenthèses.!!!
    ta récurrence consiste à montrer que
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Comment ça pour 1.a on donne z0=2 et je trouve pour Z3 et Z6 =2
    et au 1.b pour z=i je trouve le même résultat pour Z3 et Z6
    donc les multiples de 3=Z0
    Oui mais dans ces 2 cas tu ne trouves pas égale à , ... contrairement à ce que tu suggères dans ton message#3 et qui est donc faux.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h14.

  9. #8
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Oui je vois ce que vous voulez dire, j'aurais du marquer Z3=Z0 et Z3(n+1)=Z0

  10. #9
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Pour la récurrence je pose :
    P(n): Z3n=Z0
    I: P(n) vraie pour n=0 car Z3*0=Z0
    H: On suppose P(n) vraie, dmq P(n+1) l'est encore
    H Z3n=Z0
    C Z3(n+1)=Z0

    Z3(n+1)=1-1/Z3n=1-1/Z0=Z0/Z0-1/Z0=(Z0-1)/Z0
    et là je bloque...

  11. #10
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3(n+1)=1-1/Z3n
    Ben non ! ... Relis le message#6 de ansset.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h26.

  12. #11
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    ah oui comme z0=Z3n, si Z3n+1=Z0=Z3n

  13. #12
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Pouvez vous me donner une piste sur la démarche?

  14. #13
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    ah oui comme z0=Z3n, si Z3n+1=Z0=Z3n
    ... Hein ? ... Keksaveudir ?
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h33.

  15. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes et récurrence

    @erosed:
    tu ne peux pas "poser" ce que tu dois démontrer !
    et pour te faciliter la vie je t'invite à regarder simplement les expressions de
    en fct de puis
    en fct de et enfin
    en fct de et donc de conclure.
    Dernière modification par ansset ; 22/10/2016 à 11h34.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #15
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Si z3n=Z0 on veut savoir si c'est possible pour toutes les valeurs de n, et donc si Z3(n+1)=z0?

  17. #16
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Pouvez vous me donner une piste sur la démarche?
    Soit . Tu supposes que (c'est ton hypothèse de récurrence), ... et tu dois montrer que

    Donc cela donne : qui par définition vaut


    Je te laisse le soin de poursuivre.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h39.

  18. #17
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    J'ai trouvé.. 1-1/(Z3n+2)=1-1/(Z0+2)=1-1/Z2=Z3n où n vaut 1?

  19. #18
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    J'ai trouvé.. 1-1/(Z3n+2)=1-1/(Z0+2)=1-1/Z2=Z3n où n vaut 1?
    Rebelote,
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 11h52.

  20. #19
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Z3n+3=1-1/Z3n+2
    Z3n+2=1-1/Z3n+1
    Z3n+1=1-1/Z3n=1-1/Z0

    Z3n+1=Z1
    Donc Z3n+2=1-1/Z1=Z2
    et Z3n+3=1-1/Z2=Z3

  21. #20
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Mais que c'est fouillis.

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3n+3=1-1/Z3n+2
    Z3n+2=1-1/Z3n+1
    Et ben injecte la 2e ligne dans la 1ère, ... et refais la même opération ensuite.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 12h07.

  22. #21
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Ce qui donne 1-1/(1-1/Z3n+1)?

  23. #22
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Enchaîne, enchaîne, ... ("enchaîne my heart" comme le chantait Joe Cocker )

  24. #23
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=1-1/[1-1/(1-1/Z0)]=1-1/(1-1/Z1)=1-1/Z2=Z3

  25. #24
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Tu me fatigues avec tes , et

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]
    Et ben simplifie au fur et à mesure, calcule proprement, ... et tu ariveras ainsi à

    Et vu que par hypothèse de récurrence et ben tu en déduiras que , ... et c'est bien ce quil faut démontrer !


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 12h26.

  26. #25
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Comment simplifier?

  27. #26
    PlaneteF

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Comment simplifier?
    Par exemple en utilisant :

    Donc :
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 13h13.

  28. #27
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Citation Envoyé par erosed Voir le message
    Z3n+3=1-1/Z3n+2=1-1/(1-1/Z3n+1)=1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=1-1/[1-1/(1-1/Z0)]=1-1/(1-1/Z1)=1-1/Z2=Z3
    soit tu l'écrit comme ça mais....
    tu n'a pas montré que Z3=Z0 ! ( c'est ta conjecture de base )
    ce qui revient à faire le calcul de base des 3 itérations.
    c'est un peu pour ça que je t'avais suggéré plus haut de simplement montrer que
    en remplaçant à chaque fois par l'indice inférieur.
    ce qui implique directement le résultat attendu.

    soit tu suis la voie de PlanèteF et tu montres directement par le calcul que
    1-1/[1-1/(1-1/Z3n)]=Z3n

    ça revient au même.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #28
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Par exemple en utilisant :

    Donc :
    Z3n+1=1-1/Z3n=(Z3n -1)/Z3n

    Z3n+3=1-(Z3n+1)/(Z3n+1 -1)=
    1- [(Z3n -1)/Z3n] / [(Z3n -1)/Z3n -1)]=
    1-[(Z3n -1)/Z3n]/[(Z3n-1-Z3n)/Z3n]=
    1-(Z3n -1)/Z3n *Z3n/-1= Z3n*(Z3n -1)/-Z3n=
    1-(Z3n -1)/-1=
    1+(-Z3n +1)/-1=
    (-1-Z3n +1)/-1=
    -Z3n/-1=
    Z3n

    J'y suis arrivée?

  30. #29
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes et récurrence

    probablement, mais sans les parenthèses derrière les Z , c'est illisible.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  31. #30
    erosed

    Re : Nombres complexes et récurrence

    Z{3n+1}=1-1/Z{3n}=(Z{3n} -1)/Z{3n}

    Z{3n+3}=1-(Z{3n+1})/(Z{3n+1} -1)=

    1- [(Z{3n} -1)/Z{3n}] / [(Z{3n} -1)/Z{3n} -1)]=

    1- [(Z{3n} -1)/Z{3n}] / [(Z{3n}-1-Z{3n})/Z{3n}]=

    1- (Z{3n} -1)/Z{3n} * Z{3n}/-1=

    1- Z{3n} * (Z{3n} -1)/-Z{3n}=

    1- (Z{3n} -1)/-1=

    1+(-Z{3n} +1)/-1=

    (-1-Z{3n} +1)/-1=

    -Z{3n}/-1=

    Z{3n}

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