DM de spé maths arithmétique et division euclidienne

[invite8dcea44d]

Bonjour à tous ! Alors je bloque sur une partie de mon dm de spé maths, qui porte sur la division euclidienne.... Alors voila l'énoncé : Résoudre l'équation x^2=8y+1 d'inconnue (x,y) de Z^2.
En déduire que la parabole (P) d'équation y=(x^2-1)/8 passe par une infinité de points a coordonnées entières.

Alors pour la première question, j'ai trouvé que l'équation correspondait à la division euclidienne de x^2 par 8, admettant comme reste 1. Cette équation a été traitée au début du devoir, et on admet que x est impair. Donc j'ai posé x=2k+1 et j'ai développé pour ensuite factoriser par 4k et j'ai obtenu 4k(k+1)+1.
k et k+1 étant 2 entiers consécutifs, j'en ai déduit que k*k+1=2p donc 4*2p=8p. Mais ensuite je ne sais pas quoi faire d'autre pour avancer dans mon raisonnement..
Merci d'avance de votre aide !

ps : nous n'avons pas encore commencé à travailler sur les tableaux de congruence.
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[gg0]

Bonjour.

j'ai un peu de mal à suivre (j'ai fait, j'ai fait ...) il aurait mieux valu écrire les calculs, mais j'ai un peu l'impression que tu as oublié ton équation en cours de route.

Cordialement.

[invite51d17075]

Alors pour la première question, j'ai trouvé que l'équation correspondait à la division euclidienne de x^2 par 8, admettant comme reste 1. Cette équation a été traitée au début du devoir, et on admet que x est impair. Donc j'ai posé x=2k+1 et j'ai développé pour ensuite factoriser par 4k et j'ai obtenu 4k(k+1)+1.
k et k+1 étant 2 entiers consécutifs, j'en ai déduit que k*k+1=2p donc 4*2p=8p. Mais ensuite je ne sais pas quoi faire d'autre pour avancer dans mon raisonnement..
.

donc tu l'as ton infinité de points. Il suffit de conclure.
Cdt

[PlaneteF]

Bonjour,

k et k+1 étant 2 entiers consécutifs, j'en ai déduit que k*k+1=2p donc 4*2p=8p. Mais ensuite je ne sais pas quoi faire d'autre pour avancer dans mon raisonnement..

Déjà écrire proprement les choses. C'est et ensuite et donc

Ensuite, attention, il s'agit là de conditions nécessaires, mais pas suffisantes.

Par exemple ne convient pas, car tu aurais . Dans ce cas comment fais-tu pour obtenir en multipliant 2 entiers consécutifs ?? ...

On a : , , , etc ... Tu vois bien que tu n'as pas tous les entiers pairs.

D'ailleurs ne peut pas être solution, il suffit de le remplacer dans l'équation pour s'en convaincre.


Il faut que revoit ton raisonnement sur ce point.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c967f12]

J'ai une question pour ce genre de question :
La 1 et la 2
Pensez vous qu'il soit possible d'utiliser les congruences
X^2 modulo 8
Sachant que 8y est divisible par 8 , nous avons x² congru à 1 modulo 8
Et nous trouvons comme valeur
x = 3 ou x= 5 ou x= 7 aussi x =1
Et plus généralement tous les nombres impairs
Ou : pour x = 2k+1 avec k appartenant à Z

C'est juste une question ...

[PlaneteF]

Que ce soit en utilisant la notion de congruence ou pas, il est facile de montrer que ( impair) ( impair)

Or est donc impair et l'on en déduit que nécessairement est impair.

Le "nécessairement" est important, car c'est bien une condition nécessaire mais bien évidemment pas suffisante pour que soit solution.

Cdt