Problème de suites par récurrence

[Yokolenlen]

Bonjour !
J'ai un problème sur mon DM de mathématiques, à propos d'une suite définie par récurrence :

Soit Un la suite définie par :
U₁=1/3
U_n+1=(n+1/3n)*U_n

1. Calculez U₂, U₃ et U₄
J'ai trouvé U₂=2/9
U₃=1/9
U₄=4/81

2. Conjecturez poue U_n, une formule de la forme : U_n=n/3^...
J'ai noté U_n=n/3^n

3. Démontrer, par récurrence, la formule précédente.
Et c'est ici que je bloque ...

4. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n≥2, U_n≤1/2^n

5. Déterminer la limite de la suite U_n

Je pense que la question 3 peut me débloquer le reste

En vous remerciant d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que ce n'est pas (n+1/3n)*U_n=(4/3)nU_n, mais (n+1/(3n))*U_n.

Pour ta récurrence, rien de difficile. L'initialisation est déjà faite; donc tu supposes que U_n=n/3ⁿ, puis tu calcules u_n+1 et tu montres qu'il est de la même forme. Je m'étonne que tu ne l'aies pas déjà fait, c'est du cours à mettre en œuvre.

Bon travail personnel !

[PlaneteF]

Bonsoir,

U_n+1=(n+1/3n)*U_n

Ton énoncé c'est donc :

et donc


Cordialement

[Yokolenlen]

Merci d'avoir répondu.

Oui j'ai essayé de faire ça, mais le soucis c'est que je suis bloquée à :
"Démontrons que P(k+1) est vraie, c'est à dire : U_k+1=(k+1)/3^k+1

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yokolenlen]

Bonjour PlaneteF
J'ai mal formulé mon énoncé :
U_n+1=((n+1)/3n)*U_n

[PlaneteF]

J'ai mal formulé mon énoncé :
U_n+1=((n+1)/3n)*U_n

Donc c'est :

[Yokolenlen]

Non, le 3n est ensemble
C'est que ça fait beaucoup de parenthèses sinon : U_n+1=((n+1)/(3n))*U_n

[gg0]

Merci d'avoir répondu.

Oui j'ai essayé de faire ça, mais le soucis c'est que je suis bloquée à :
"Démontrons que P(k+1) est vraie, c'est à dire : U_k+1=(k+1)/3^k+1

Je t'ai dit comment, si tu ne veux pas suivre les conseils, pourquoi questionner ?

Cordialement.

NB : Je découvre que c'était encore un autre énoncé que celui que tu as écrit ! Oh cours de sixième sur les priorités opératoires !!!

[PlaneteF]

C'est que ça fait beaucoup de parenthèses sinon

Ouais, mais si tu ne les mets pas c'est faux !

[gg0]

Yokolenlen,

démontrer c'est partir de ce qu'on sait pour arriver à la conclusion. parfois c'est difficile de trouver le chemin, mais ici c'est évident. Simplement, tu rêves sur la conclusion au lieu de regarder ce qui est connu.

[PlaneteF]

Non, le 3n est ensemble
C'est que ça fait beaucoup de parenthèses sinon : U_n+1=((n+1)/(3n))*U_n

D'ailleurs celles que j'ai mises en rouge dans ta citation sont inutiles, donc cela n'en fait pas tant que cela !

Cdt