Devoir sur les suites et problème dans une récurrence (TS)

[inviteed333f68]

Bonjour,
J'ai un problème dans le Dm que voici à la question 2)a) de la partie 3
En clair je sais que la suite (V_n) est définie par V₀=-1 et V_n+1=f(V_n).
Je dois démontrer par récurrence que la suite (V_n) est croissante, entre autres je sais également que que f est croissante sur l'intervalle ]-3;+l'infini[ et que pour tout x f(x)<3 .
Et personellement je bloque, je me suis lancer dans une série de calcul vain, développement, factorisation, j'ai remplacer les termes V_n+1 par f(V_n) mais je bloque sur cette question et je n'arrive à rien alors un peu d'aide ne me ferait pas de mal.

P.S: C'est la partie calculatoire de la transmission dans le raisonnement par récurrence qui me pose problème ici.
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[inviteed333f68]

Et f(x)=(3x+4)/(x+3)

[phys4]

Je pense que vous avez fini :

En effet f(-1) = 1/2
La fonction est croissante, cela signifie que si (Vn - Vn-1) > 0 alors (Vn+1 - Vn) > 0 car la variation de la fonction a le même signe que la variation de la variable.

La première variation est positive donc vous en tirez la conclusion.

[inviteed333f68]

Mon probléme c'est qu'il faut que je démontre cela "par réccurence"
Pour l'instant j'ai fait ça:
On sait que v₀=-1 et V_n+1=f(V_n)= (3V_n+4)/(V_n+3)
On veut montrer que V_n<V_n+1
Initialisation:
Pour n=0 V₀=-1 et V_n+1=V₁=1/2

Or -1<(1/2)
La propriété est donc vérifiée pour n=0

Transmission:
On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que V_k<V_k+1 (Hypothèse de récurrence)
Et on veut montrer que V_k+1<V_k+2 (ou V_k+2-V_k+1
Ensuite je dois essayer de retombé sur quelque chose qui ressemble à l’hypothèse de récurrence pour conclure sur le fait que la propriété est transmissible.
Cette question n'est pas censée posé de problème mais la je bloque, parfois sa arrive.
Merci pour ton aide et merci d'avance à ceux qui m'aideront encore!

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Initialisation:
Pour n=0 V₀=-1 et V_n+1=V₁=1/2

Or -1<(1/2)
La propriété est donc vérifiée pour n=0

Transmission:
On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que V_k<V_k+1 (Hypothèse de récurrence)
Et on veut montrer que V_k+1<V_k+2 (ou V_k+2-V_k+1
Ensuite je dois essayer de retombé sur quelque chose qui ressemble à l’hypothèse de récurrence pour conclure sur le fait que la propriété est transmissible.

La fonction est croissante : cela veut donc dire que pour tout accroissement de x tel que x2 > x1 alors f(x2) > f(x1)
Par conséquent x2 - x1 > 0 implique f(x2) - f(x1) > 0
Nous pouvons donc écrire que V_k+1 - V_k > 0 entraine V_k+2-V_k+1 > 0
C'est la relation de récurrence recherchée.
Comme la propriété est vraie pour k = 0, elle est vraie pour la suite.
Est ce simple ?

[inviteed333f68]

Oh je vois ce que tu veux dire!
Merci beaucoup.