Probleme de recurrence sur les suites

[mickadu66]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai quelques soucis devant un exercice sur les recurrences dont je veux vous faire part.

Enoncé :
Soit U_n la suite définie par : U₀=1/2 et U_n+1=(8U_n+3)/(U_n+6)

1)a) Démontrer par recurrence que pour n>ou=1, on a 1<U_n<3
b) Montrer que la suite U_n est croissante.

2)On considere la suite V_n définie par V_n=(U_n-3)/(U_n+1)
a)Démontrer que la suite V_n est géométrique.
b)Quelle est la limite de V_n ?


3)Exprimer, pour tout n, U_n en fonction de V_n.
En déduire le comportement à l'infini de U_n.

Pour ma part voilà à quoi j'ai pensé :
1)a) Soit Pn la proposition définie par : 1 < (8U_n+3)/(U_n+6) < 3

*INITIALISATION :
n=1 U₁=14/13 Donc 1<U₁<3
La propriété est vraie au rang 1.

*HÉRÉDITÉ : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel k>ou=1.
Hypothèse de récurrence :
1 < (8U_k+3)/(U_k+6) < 3

Donc voilà je ne pense pas que l'hypothèse soit la bonne, si vous pouvez m'aider s'il vous plait ? Merci.
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[mickadu66]

personne ?

[invite0022ecae]

Bonjour
Erreur dans ton hypothèse de rec:

Hypothèse de récurrence :1<Uk<3
Montrons qu'alors 1<U_k+1<3

si 1<Uk<3 alors encadre 8Uk +3 puis encadre Uk + 6 puis 1/(Uk+6) et enfin
(8Uk +3) / (Uk+6) et il reste à conclure.
Je n'ai pas fait le calcul mais dans 99% des cas çà marche.

[mickadu66]

qu'est-ce que tu entends par "encadre" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mickadu66]

ah oui pardons tu veux dire borné c'est ça ?

[invite0022ecae]

Oui c'est çà.

[mickadu66]

Donc :
Partons de 1<Uk<3

jE MULTIPLIE par 8:
8<8Uk<24
puis rajoute 3:
soit 11<8Uk+3<27 (1)

Je rapart de 1<Un<3
cette fois çi je rajoute 6 ce qui donne:
7<Uk+6<9 (2)

je divise linégalité (1) par l'inégalité (2):
11/7 <Uk+1<27/9

11/7>1 et 27/9=3 d'ou

0<Uk+1<3

C'est bien ça dont tu me parles ?

[invite0022ecae]

tu ne peux pas diviser (1) par (2) c'est pour cela qu'il faut encadrer 1/(U_k+6) d'abord et ensuite tu encadres le produit de 8U_k+3 par 1/(U_k+6)

[mickadu66]

Sachant que
7<Uk+6<9

1/7<1/(Uk+6)<1/9

Cela me revient au même en fin de compte non ?

[mickadu66]

répondez svp

[invite0022ecae]

Ce que tu viens d'écrire est faux. depuis quand 1/7 < 1/9 ?
Tu es tombé dans le piège où il faut tomber au moins une fois pour ne plus se tromper ensuite
on obtient:
1/9<1/(Uk+6)<1/7 donc 11/9< U_k+1<27/7

Rappelle toi de cette technique car elle marche très souvent mais là pas de bol çà ne marche pas sauf à montrer que 0<Uk

il nous reste à montrer que Uk<3
On va essayer autre chose:
Hyp de rec: Uk<3 donc 5Uk<15 donc 5Uk-15 <0 donc
8Uk-3Uk -18+3 <0 donc 8Uk+3<3(Uk+6) donc
(8Uk+3) /(Uk+6) <3 cqfd
Je sais c'est un peu tirer par les cheveux mais çà marche.

Si çà t'intéresse, je peux t'expliquer comment j'ai fait pour trouver.

[mickadu66]

ah oui en effet je n'ai pas fait attention, maintenant je le saurais
en fait toi tu fais une borne puis l'autre , et tu conclu. Enfin je pense que pour cette question c'est bon je pourrais m'en tirer grâce à a tes précieux conseils

Maintenant pour la b, je pense qu'il faut prendre Un+1-Un , si je ne me trompe pas ?

[invite0022ecae]

D'habitude, je fais les deux bornes en même temps mais pas de chance on tombe sur 27/7 qui est supérieur à 3 donc on ne peut pas conclure que Uk+1 <3

Pour 1b) tu montres que Un+1 -Un >= 0 , je pense que 1a) peut t'y aider.

[mickadu66]

Un+1-Un = [(8Un+3)/(Un+6)]-Un

Je pense que sa va pas etre simple ( je trouve un Un²), il faut utiliser autre chose non ?

[invite0022ecae]

et alors ?
- Tu réduis au même dénominateur.
- Au numérateur tu factorise (utilise tes connaissances sur la factorisation des polynômes du second degré)
- tu obtiens un produit de facteurs, tu étudie le signe de chacun en n'oubliant pas 1)a)
- tu sais que le numérateur est positif toujours grâce à 1a)

et tu conclus

[mickadu66]

alors :
Un+1-Un=Un(-Un+2+(3/Un))au numérateur et Un+6 au dénominateur, c'est juste ?

[invite0022ecae]

C'est exact mais c'est plus simple avec:

Un+1 - Un = (Un² -2Un -3) / (Un + 6)

[invite0022ecae]

Pardon petite erreur de signe:
Un+1 - Un = (-Un^2 +2Un +3) / (Un + 6)

[invite0022ecae]

Excuse-moi, je dois te laisser. Suis mes conseils sur la procédure à mener et tout ira bien, enfin j'espère.

A+

[mickadu66]

et bien d'après 1)a) on sait que 7<Un+6<9
Après on cherche delta=b²-4ac
=4-4x(-1)(-3)
=4-12=-8 donc delta<0 Il y aucune racines :

Je sais pas si je me suis égaré ou non là ^^

[mickadu66]

personne ?

[mickadu66]

upp sa devient urgent et je suis bloqué

[mickadu66]

svp personne ne peut m'aider?

[mickadu66]

j'aurais besoin de vous pour la factorisation dans la question 2)a) svp

je remets l'énoncé si ça aide ^^

U₀=1/2
U_n+1=(8U_n+3)/(U_n+6)
V_n=(U_n-3)/(U_n+1)

Prouver que V_n est géométrique.

Bon biensur il faut se servir de Vn+1, le probleme c'est que le calcul devient lourd, et j'aimerais qu'on m'aide pour la factirsation, histoire d'y voir plus clair

merci

[invite0022ecae]

Tu as fait le 1b) ?

[mickadu66]

Voilà ce que je trouve

V_n+1=(5U_n²-90)/(9U_n²+36)

Alors voilà comment simplifier ceci ?

edit: euh pardon c'est faux je vais revoir le calcul

[mickadu66]

Tu as fait le 1b) ?

Oui j'ai fais tout seul

En trouvant delta ... etc

[invite0022ecae]

Je ne trouve pas cela, je ne vois d'où viennent tes Un^2

[mickadu66]

Voilà pour Vn+1 je trouve

(5Un²+15Un-90)/(9Un²+60Un+36)

Voilà pour la factorisation je sèche

[mickadu66]

Je ne trouve pas cela, je ne vois d'où viennent tes Un^2

Dis -moi ce que tu trouve svp parce que oui je pense que sa fait beaucoup