Problème sur les suites ; démontrer par récurrence mais dans un calcul où il y a des cosinus .

[invite105d8ea0]

Bonjour , j'ai un dm de mathématiques voici l'énoncé : ( je poste uniquement la premiere question qui me bloque ... )
Soit un réel Φ tel que 0≤Φ≤ π / 2 ( symbole pi )
La suite (Un) est définie par Uo= 2 cosΦ et U_n+1= racine carré de 2+ Un pour tout entier naturel n .

1) Montrer , par récurrence , que pour tout entier naturel n , on a Un= 2cos(Φ/2ⁿ) .
( On rapelle que pour tout réel x on a cos x = 2 cos²(x/2)-1 )

Je sais que par le rang initial on doit prouver que comme on sait que U0= 2 cosΦ et que n=0 ; il faut que
U0 = 2*cos ( Φ/ 2ⁿ)
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[PlaneteF]

Bonjour,

C'est toujours le même principe pour le raisonnement par récurrence :

Tu montres que la relation est vraie au rang .

Ensuite tu supposes que :

Et tu dois démontrer que :

Ce qui donne :



Je te laisse finir le calcul en utilisant la formule donnée par l'énoncé ... et n'oublie pas de justifier l'existence de la racine carrée

[PSR B1919+21]

Bonjour,
je te propose une autre méthode :
tu calcules

ensuite tu utilises (de façon astucieuse)

et tu verras la simplification
ensuite

[invite105d8ea0]

Merci pour votre aide à tous les deux .. PSR .. Je vais plutôt utilisé la méthode de PlanèteF parce-que c'est ainsi que je procède en cours ( pour m'entraîner pour les DS) ..

PlanèteF ; c'est ainsi que j'avais procède et justement j'était bloquée au calcul là . Je vous montre les différentes étapes de mon calcul :
Un+1 = [Racine carré de ] 2+2cos( Φ / 2n)
=[Racine carré de] 2 + 2 * 2 cos² ( (Φ/2ⁿ) /2 - 1 )
=[Racine carré de ]2 + 4 cos²(Φ/1ⁿ - 1 )

Mais après je suis bloquée . Il faut bien utilisé le rappel qui est donné ?
J’espère que vous avez compris car je n'arrive pas à faire les racines carrés sur ce site ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

=[Racine carré de] 2 + 2 * 2 cos² ( (Φ/2ⁿ) /2 - 1 )
=[Racine carré de ]2 + 4 cos²(Φ/1ⁿ - 1 )

J'ai du mal à te lire là

En utilisant la formule rappelée par l'énoncé, on a :



... que tu remplaces sous la racine carrée et c'est terminé (sans oublier les considérations de signe quand on prend la racine carrée d'un carré).

[invite105d8ea0]

Je ne comprends pas comment on arrive à un dénominateur égal à 2ⁿ⁺¹ ...
En effet , si on utilise la formule rappelée dans l'énoncé , il faut bien remplacé le x par ϕ/2ⁿ ?

Ce qui donnerai : racine carré de : 2+4cos²(ϕ/2ⁿ / 2 - 1 ) ???
Et à partir d'ici je n'arrive pas à simplifier .

[PlaneteF]

Je ne comprends pas comment on arrive à un dénominateur égal à 2ⁿ⁺¹ ...
En effet , si on utilise la formule rappelée dans l'énoncé , il faut bien remplacé le x par ϕ/2ⁿ ?

Ce qui donnerai : racine carré de : 2+4cos²(ϕ/2ⁿ / 2 - 1 ) ???
Et à partir d'ici je n'arrive pas à simplifier .

Je ne sais pas quelle cuisine tu fais là ... sur ce que je vois tu t'emmêles les pinceaux avec les parenthèses et tu n'appliques pas la formule de l'énoncé correctement !

Donc je récapèpète depuis le bédut

L'énoncé te donne la formule suivante :

Jusque là on est d'accord ?!!

Dans cette formule tu remplaces par et en remarquant que , tu obtiens bien :

[invite105d8ea0]

Donc oui pour le début je suis effectivement d'accord ..
Néanmoins je n'arrive pas à comprendre comment vous obtenez ϕ/2ⁿ⁺¹ ? Enfin c'est le 2ⁿ⁺¹ qui me pose problème .

Je suis désolée avec mes questions qui doivent vous semblez bête mais je préfère demander que recopier bêtement .

[PlaneteF]

Donc oui pour le début je suis effectivement d'accord ..
Néanmoins je n'arrive pas à comprendre comment vous obtenez ϕ/2ⁿ⁺¹ ? Enfin c'est le 2ⁿ⁺¹ qui me pose problème .

Je ne vois pas ce que je peux te dire de plus que : ?

J'applique tout simplement : et avec , et

Maintenant j'ai épuisé toutes mes cartouches sur ce coup là, je ne vois pas comment on pourrait détailler plus

[invite105d8ea0]

Ah ouiiiiii !! J'avais complétement oublié que 2ⁿ*2 était égal à 2ⁿ⁺¹ ...
Bon et bien merci beaucoup de votre patience !
L'exercice n'est pas terminé je dois trouver la limite . Il faut en faite que je prouve qu'elle est convergente et que je précise sa limite en utilisant :
lim qⁿ ( q>1)
n-> +∞


Donc comme nous démontrons que Un = 2cos(ϕ/2ⁿ ) alors on sait que :

2cos(ϕ/2ⁿ ) -> +∞ comme 0 < ou égal ϕ < ou égal pi/2

Mais il me semble qu'il faudrait mettre n en facteur comme nous le faisons d'habitude en cours non ? Et ainsi pouvoir prouver qu'elle est convergente car la j'ai plutot montrer qu'elle est divergente mon raisonnement doit être faux ...

Et je voulais conjecture avec ma calculatrice mais il y a deux inconnu ...

[PlaneteF]

2cos(ϕ/2ⁿ ) -> +∞

"Un cosinus" est toujours inférieur à 1, et donc : , ... Alors comment veux-tu que cette fonction tende vers