Bonjour,
Notre professeur nous a donné un exercice de recherche non noté pour commencer à aborder le chapitre prochain. Est ce que vous pouvez me donner un coup s'il vous plait.
J'ai déjà fait la question 1 :
1)
OH = cos(x)
MH = sin(x)
NI = tan(x)
IM = 2*r*sin(x/2) => 2*sin(x/2) comme r=1
l = (2Π*X)/(360)
2)
MH < IM < L < IL+LM < IN
Voilà est-ce que ceci est déjà correct ?
Et pouvez vous m'aider pour la suite svp ?
Merci.
Salut,
pour le 1), les 3 premiers semblent bons...pour IM, on peut utiliser aussi pythagore : IM² = IH² + MH² = (1-cos x)² + (sin x)² = 1 + cos²x - 2cos x + sin²x = 1+(cos²x+sin²x)-2cos x = 1+1-2cos x = 2(1-cos x) = 2(2sin²(x/2))= 4sin²(x/2), donc IM=+2sin(x/2), comme tu as obtenu, donc j'imagine que c'est bon ^^
Pour la longueur de l'arc IM = l, comme x est exprimé en radians, j'aurais dit simplement : l = x...je me trompe?
pour le 2), j'aurais justifié la réponse...de plus, il me semble que l'ordre dépend de la valeur de l'angle x...
Il suffit d'exprimer toutes les grandeurs en fonction de x, puis de les classer, comme si on comparait des fonctions. Il existera alors un classement différent pour chaque intervalle entre 2 croisements quelconques de ces fonctions...(un croisement signifiant que les deux grandeurs associées changent d'ordre, celle qui était inférieure devient supérieure)
Mais vu le nombre de grandeurs, cela me semble une tâche ardue...
Donc:
l=x, MH=sin x, IN=tan x, IM=2sin(x/2)=2(1-cos x) et IL+ML reste à exprimer en fonction de x.
Il y a sûrement des méthodes plus efficaces, mais c'est celle que j'ai vue en premier :
a) pour connaître IL, on cherche l'ordonnée du point L. Pour cela, il suffit de calculer le point d'intersection entre la verticale X=1 et la droite ML d'équation connue : en effet, on connait un point par lequel elle passe (le point M=(cos x, sin x) ) , et on connait sa pente, puisqu'elle est perpendiculaire à la droite OM de pente tan x (donc, la pente de la droite ML = -1/tan x, puisqu'on sait que le produit des pentes doit valoir -1 pour deux droites perpendiculaires)
Donc, en écrivant l'équation de la droite ML comme Y=(-1/tan x)*X + b, et en insérant le point M connu, on peut trouver la constante b :
sin x = (-1/tan x)*cos x + b ==> b = tan x * (-tan x) = -tan²x
Donc, la droite s'écrit Y=(-1/tan x)X - tan²x, et l'ordonnée du point L est : Y = (-1/tan x).1 - tan²x = (-1/tan x).(1 + tan ³ x), qui dépend de l'angle x.
Et IL = Y = Y(x)
b) pour connaître ML, on peut simplement utiliser Pythagore : ML² = HI² + (MH-LI)² = (1-OH)² + (MH - Y)² = (1-cos x)² + (sin x - Y)²
Où Y est la valeur de l'ordonnée du point L trouvée ci-dessus.
On trouve ML = f(x) après calculs que je n'ai pas faits.
Et on trouve IL+ML = Y+f(x).
DONC : il ne reste qu'à classer ces différentes fonctions...
Je ne vois pas comment faire autrement qu'en faisant une étude des fonctions sous forme d'inégalités : on détermine les domaines de x (les intervalles) pour lesquels la première grandeur est plus grande que l'autre, en résolvant l'inégalité : grandeur_1(x) > grandeur_2(x) explicitement pour x...
Et cela pour tous les couples de grandeurs possibles(comme il y en a 5, cela fait 5+4+3+2+1 couples = 15 couples)
Ensuite, établir un ordre entre les 5 grandeurs pour chaque intervalle obtenus (où l'ordre change)
pour le 3), il faut déjà avoir les expressions simplifiées du 2), donc j'attends que tu les postes, ou que quelqu'un me dises que j'ai royalement compliqué les choses pour rien...mais là tout de suite, je ne vois pas d'autre méthode de résolution...
a+
J'ai oublié de dire :
pour le point 3)a), il y a une belle démonstration ici (wikipedia) avec un petit schéma (cliquer sur "afficher")
Heu...tu peux oublier ma contribution pour le point 2), j'ai essayé aveuglément de trouver une méthode générale, mais ce n'est effecitvement pas basé sur des considérations géométriques...on peut simplement déduire l'ordre "à l'oeil" avec de simples arguments basés sur le fait que la plus courte distance entre deux points (sur un plan euclidien) est la ligne droite, etc...mais je ne vois toujours pas comment déduire l'ordre entre l et IL+ML...
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 08/01/2017 à 18h00.
