Aire entre deux carrés superposés

invite752bf884 · 01/02/2017, 20h34

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un questionnaire à choix unique. Quatre propositions sont disponibles et si j'ai réussi trouver une partie de la réponse je bloque sur l'autre. Voici l'énoncé :

On considère la figure ci-dessous, composée de deux carrés $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de même côté $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant le centre du carré $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
Nom : 20170201_193620_resized.png
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On note $\text{[math]}$ le périmètre et $\text{[math]}$ l'aire de $\text{[math]}$ .

Il y a quatre réponses possibles :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Pour commencer et pour éliminer facilement deux réponses je regarde l'aire de $\text{[math]}$ .
Je m'aperçois que si $\text{[math]}$ était parallèle à $\text{[math]}$ on aurait une aire égale à $\text{[math]}$ donc logiquement (sans faire de calcul), vu la figure, l'aire est forcément fonction de l'angle $\text{[math]}$ . Donc les deux réponses 1 et 3 sont exclues.
Maintenant entre 2 et 4 pour le périmètre je sèche...

J'ai commencé de la sorte :

Si $\text{[math]}$ effectue une rotation de centre $\text{[math]}$ de telle sorte que $\text{[math]}$ se confond avec $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on est dans un cas particulier où $\text{[math]}$ .
on a dans ce cas $\text{[math]}$ et par application du théorème de pythagore $\text{[math]}$

Si on somme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on trouve $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ ce qui ressemble fortement à la réponse 4.

Or danc ce dernier calcul de périmètre il manque, à priori, la longueur EM...
J'ai peut-être un manque de recul sur quelquechose...auriez-vous une piste ?

Certes en conditions examen j'aurai coché la réponse 4 sans me poser plus de questions. Mais là je voudrai savoir où est-ce que j'ai manqué quelque chose...
merci !

**gg0** · 01/02/2017, 20h47

Bonjour.

Soient I et J les projetés de E sur CD et BD. Compare les triangles EIN et EJN.

Cordialement.

invitede828163 · 01/02/2017, 20h54

Bonjour,
Ce que vous affirmez semble douteux.
Pour l'aire, il suffit de comparer les deux triangles EIN et EJM. Quant au périmètre, il faut calculer les segments un à un en appliquant les relations basiques de trigonométrie (tan et cos) dans ces mêmes triangles.
Cordialement.

**gg0** · 01/02/2017, 20h59

En fait, les deux triangles permettent de tout trouver

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite752bf884 · 01/02/2017, 21h59

Envoyé par gg0

Soient I et J les projetés de E sur CD et BD. Compare les triangles EIN et EJN.

Excellent, un petit dessin mental et tout est apparu très clair rapidement !

Merci

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