Nombres plus qu'imaginaires

[inviteb783d9f6]

Bonjour,

L'ensemble des nombres réels peuvent être placés sur une droite, et l'ensemble des nombres complexes peut, lui, être placé sur un plan.
Partant de ce constat, existe-t-il des nombres qui peuvent être placés sur plus que le plan complexe, comme une sorte de volume infini ?
-----

[Resartus]

Bonjour,
Réponse, OUI, mais il faut renoncer à certaines propriétés bien agréables des nombres réels ou complexes.
Par exemple, il existe ce qu'on appelle les quaternions qu'on peut représenter dans un espace à 4 dimensions, mais la multiplication de ces nombres n'est plus commutative : a.b est différent de b.a.
Il existe même des octonions (espace à 8 dimensions) mais là on doit renoncer à l'associativité : c'est à dire que (ab)c sera différent de a(bc).

Sinon, si on reste dans les connaissances de niveau lycée (je suppose que c'est votre cas), les espaces vectoriels peuvent avoir n'importe quelle dimension, mais il n'existe plus l'équivalent de la multiplication (le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas une multiplication, car le résultat n'est pas un vecteur mais un nombre réel)

[Médiat]

Bonjour,

Il existe des algèbres (espaces vectoriels muni d'une multiplication) dans toutes les dimensions, avec un certain nombre de théorèmes de classification (Frobenius, Hurwitz, Zorn, Mazur et, plus récent : Bresar, Semrl & Spenko)