Diagonalisation de matrices 2x2 - Spé maths

[lukeskywalker]

Salut!

Mon prof de spé maths a tendance à empiéter un peu sur le programme de prépa, et il va nous donner en DS des exos du type inverser des matrices 4x4 et diagonaliser des matrices 2*2.
J'ai seulement un probleme: je comprends que il faut résoudre lambda dans det(M-lambda*Identité) = 0 de manière à rendre cette matrice non inversible.
Cependant, dans le cas précis de la matrice
M= ( 5 -3 )
( 6 4)

je remarque qu'il faut enfait résoudre lamba dans det(lambda*Identité - M) = 0 car l'autre équation d'aboutit à rien....

Pouvez-vous m'indiquer pourquoi cela ainsi que comment choisir quelle équation résoudre?

En vous remerciant par avance,

lukeskywalker
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[jacknicklaus]

[...] car l'autre équation n’aboutit à rien [...]

Ah ?

Tu peux nous montrer ton calcul stp ?

[lukeskywalker]

je vais noter lamba=L pour alléger l'écriture
0=(5-L)(4-L)-6*(-3) <=> L^2-9L+38=0

Or ce polynôme n'admet pas de racines, ce qui reviendrait à dire que la matrice n'est pas inversible, si j'ai bien compris?

merci!

[Resartus]

Bonjour,
Une matrice est inversible si son déterminant est différent de zero. Ici, c'est le cas...Elle est donc inversible*

Ensuite, on peut chercher s'il existe des valeurs propres et des vecteurs propres.

L'équation det(M-L.I) est rigoureusement la même que det(LI-M). Si vous trouvez une différence, c'est que vous avez fait une erreur.
La résolution de cette équation va donner (ou pas) des racines, qui seront les valeurs propres. Ici, elle n'a pas de racine sur R, ce qui veut dire qu'il n'y a pas
de valeur propre (et donc pas non plus de vecteurs propres) sur R (mais elle en aurait sur C)

*On peut d'ailleurs constater qu'une matrice non inversible aurait toujours comme valeur propre zero.
Donc, si le polynome n'a pas de racine, cela implique que la matrice EST inversible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lukeskywalker]

Merci de votre explication

Je suis allé trop vite je voulais dire qu'elle n'est pas diagonalisable!

Je pense avoir compris merci à vous deux!

[joel_5632]

Est ce qu'il y a de l'algèbre linéaire au lycée ?

[lukeskywalker]

Oui je crois bien!

[Tryss2]

Est ce qu'il y a de l'algèbre linéaire au lycée ?

C'est très hors programme de parler, en 2017, de diagonalisation de matrice et de déterminant