Bonjour,
Je viens ici car j'au un petit soucis de logique pour comprendre elle lien entre primitive et intégrale. J'ai bien compris que "intégrer" c'est trouver la primitive d'une fonction f, mais je ne vois pas la logique du "pourquoi doit on utiliser la primitive pour les intégrales".
Merci, cordialement
bonsoir, on ne "doit pas" forcement, mais c'est le moyen le plus rapide, quand c'est possible.
si on prend une fonction f dans les réels par exemple, dont on connait une primitive F.
alors
Ce qui peux se démontrer, mais je pense que tu l'as vu en cours.
Bonsoir et merci de ta réponse.
J'ai bien compris, mais comment cela se fait que l'aire entre les deux droites, l'axe des abscisses et le courbe soit la meme en retrouvant la primitive de la fonction ? La fonction que l'on n'a dans le graphique est la dérivée d'une autre, il faut donc la chercher, pourtant, je ne vois pas de relation....
Très bonne question. C'est le théorème fondamental de l'analyseEnvoyé par BaptisteBaptiste
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...de_l%27analyse
que tu as surement vu en cours.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Bonjour Jacknicklaus et merci de votre réponse.
Mais je suis de niveau term s. Pourriez vous m'expliquer plus simplement ?
Je vous remercie, cordialement.
En termS, tu dois pouvoir suivre la démonstration exposée ici :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Int%...ale-primitives
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Merci mais je ne comprends pas sans schéma le soucis...
Merci quand meme, cordialement
pour "visualiser" ce qu'il se passe.
prenons un bout d'intégrale entre x et x+dx soit
cela correspond visuellement au petit de rectangle de largeur dx et de hauteur f(x) ( on suppose f continue donc f(x) eq à f(x+dx) ici )
sa surface
reprenons la formule initiale, avec F comme primitive de f
d'où
on retrouve bien que f est la dérivée de F.
ce petit calcul a été fait sur une portion dx, mais cumulé le long d'un segment par exemple on retrouve "la surface de l'aire" ( addition des rectangles dt )
En faite, je viens de trouver d'ou vient mon incompréhension: En faite, la fonction F(x) est en réalité lié à la courbe de la fonction f, lorsqu'on dérive F, cela donne F(x+h)-F(x)/h, or, le point A d'abscisse (x;F(x+h)) et B( x;F(x)) appartiennent bien à la courbe de f....
EDIT: Merci Ansset, je comprends mieux, c'est bien de la que mon incompréhension partait
en fait c'est une "visualisation" car une écriture propre aurait fait intervenir les limites quand dx ->0 .
mais c'était lourd à écrire.
donc je vais me faire gronder !
Ok
Merci à toi
ha non, si F est la primitive tes points A et B n'appartiennent pas à la courbe.
la courbe représentative est donnée par les points (x,f(x)) ( il n'y a pas directement de F )
grrrrr!
j'aurai mieux fait de me taire , je crois.
Sir f est continue sur l'intervalle (A;B), et x0 qui appartient à cet intervalle
Alors on peut définir la fonction F(x)= Intégrale de f(t)dt
F est dérivable sur (A;B)
F'(x)=f(x)
Pourtant: F'(x)= lim x tend vers 0 = F(x + h) - F(x)/h
F(x) et F(x + h) sont bien les images de x et x + h ?
les images par F, pas par f.
reprenons, et j'espère en étant plus propre
si F est une primitive de f alors
Or quand h tend vers 0 l'intégrale est la surface du petit rectangle de hauteur f(x) de largeur h
sa division par h donne f(x).
j'ai du mal à voir ce que tu ne saisi pas.
au final la somme des petites surfaces donne bien "l'aire sous la courbe", même si je deteste cette expression vulgarisée.
Je ne comprends pas cela: Imagine, on n'a une fonction f continue et on cherche à calculer une intégrale . Lorsque je trace la primitive dans le graphique de cette fonction f, je ne vois pas comment elle peut nous aider à trouve une aire.... je suis vraiment idiot pour ne pas comprendre....
En faite, F(x) c'est l'image de x ?
de "tracer" la primitive n'aide pas trop visuellement.
mais on peut prendre un exemple simple
soit la courbe ( une droite ) f(x)=x
je regarde/calcule la surface sous sa courbe
entre 0 et 1 on a bien un triangle de surface 1/2
de 0 à x un triangle de surface x²/2
et F(x)= x²/2 est bien une primitive de la fonction f(x)=x.
la "surface" est égale à F(x)-F(0) ( ici F(0)=0 )
non, non et non......
l'aire est donnée par la différence de la primitive aux extrémités de ton intervalle ( là ou tu intègre ) soit F(b)-F(a)
Pourrez tu me faire un schéma si cela ne t'embête pas ? Sinon, c'est pas grave, j'abandonne, moi et ces maths, ce n'est plus possible....
je ne pense pas qu'un schéma avec les courbes représentatives de f(x) et d'une primitive F(x) t'aide beaucoup.
en revanche, je te propose une autre manière de voir les choses.
tu es d'accord j'espère, pour dire que si F est une primitive de f alors f est la dérivée de F !
c'est très important.
prenons simplement la courbe représentative de la fonction f(x).
on l'imagine >0 ( pour simplifier ) et elle monte et descend,comme le parcours d'une étape du tour de France.
donc sa dérivée f' ( la pente de la courbe ) évolue.
f' est la dérivée de f et f est une primitive de f'.
on part d'un point à l'altitude A=f(0).
à chaque seconde (équivalent d'un dt ) l'altitude du cycliste évolue de f'(t)dt.
a la fin , la diff d'altitude à l'arrivée sera la somme des variations d'altitude vécues à chaque moment, ce qui est donné par la primitive de f' entre le temps 0 et le temps T.
cette somme se note
Bonjour
Il y a un lien entre primitives et intégrales pour les fonctions continues seulement, c'est le théorème fondamental de l'analyse.
En dehors de ce cas, tout est possible, il y a des fonctions qui ont une primitive et qui ne sont pas intégrables et des fonctions qui sont intégrables et qui n'ont pas de primitives.
Bonjour,
Merci Ansset, je commence à mieux comprendre. Donc on n'a le coefficient directeur de la tangente à la courbe f, en chaque point de f, et à partir de là, on retrouve sa primitive ?
Cordialement
encore non, ou alors je n'ai pas compris.
le coeff directeur de f est sa dérivée.
et une primitive de la dérivée, c'est la fonction elle-même , pas la primitive de la fonction.
j'ai donné cet exemple par analogie, mais cela ne te donne pas directement le lien que tu cherches avec "l'aire sous la courbe".
indirectement si:
par exemple dans une étape de montagne si ton point d'arrivée se retrouve à la même altitude que ton point de départ, cela veut dire que tu as fait autant de montées ( en amplitude ) que de descente.
et si tu traces la courbe de ta pente à chaque instant ( donc celle de la dérivée ).
tu verras qu'il y a autant de "surface" au dessus de 0 (montée, la dérivée est positive ) qu'en dessous de 0 ( descente : dérivée négative ). le total étant nul et tu te retrouves à la même altitude.
@joel:
ton intervention est inutile et complique les choses qui ne sont déjà pas bien assimilées.
et j'ai cru voir que c'était assez souvent le cas. ( réponse un peu à coté )
Bon, on va reprendre à 0
Donc, j'ai une fonction ( par exemple affine) dans un repère, qui est donc continue, et je veux calculer l'aire entre les droites d'équations x et y, la fonction et l'axe des abscisses.
1- Finalement, on peut considérer au premier abord que cette fonction f ( affine) dans mon repère est la dérivée d'une autre ( qui sera donc sa primitive et qui sera d'ailleurs au passage un polynôme de second degrés); On n'est d'accord jusque là ?
absolument !
prenons même l'exemple que tu veux , par exemple
f(x)=2x+3 , que l'on étudie entre x=1 et x=2 .
( Désolé, j'avais pas vu ton message pour l'exemple, du coup, si cela ne t'embête pas, on va reprendre le miens, dsl)
Maintenant, on va imaginer que ma fonction affine a pour écriture f(x)= x + 2, et je veux calculer l'intégrale entre 2 et 8 ( donc entre les droites d'équations x= 2 et x=8). La primitive de f(x)= x + 2 est 1/2xx + 2x. Trace à l'aide d'un logiciel ( ou dans ta tete) la fonction affine x + 2 et sa primitive 0.5xx + 2x.
Ok ?
toujours OK,
tu peux écrire x² au lieu de xx avec la touche (²) en haut et tout à gauche du clavier. ( sous la touche "echap" )
tu n'as pas forcement à tracer la courbe de la primitive, mais si tu le souhaites.....
