transformée du cos(a+b) e série de taylor

[benuel]

Bonjour à tous.

J'utilise les série de Taylor pour transformer cos(a+b), je ne suis pas sûr de mon raisonnement :

D'après Taylor :
f(a+h) = f(a)+hf'(a) +h²/2f''(a) + h²epsi(h)

epsi(h) tend vers 0 quand h tend vers 0. (je néglige)

Si je souhaite transformer cos(a+b), ni a, ni b ne tende vers 0.

On a cos(a+b) = cos(a)-bsin(a)-b²/2cos(a) .

Si par exemple a = 0.1 rad
je fais varier b de de 0 à pi de 0.01 en 0.01, alors effectivement cos(a+b) = cos(a)-bsin(a)-b²/2cos(a) sont très proche l'un de l'autre mais jusqu'à pi/2, après cela diverge fortement.

La question : faut il forcément que b tende vers 0 ou pas? (est ce que ce que j'ai fais est correct?)
Pourquoi les 2 équations sont proches jusque pi/2 mais pas après, faut il utiliser Taylor à des ordres supérieurs??

Merci par avance.
-----

[benuel]

rebonjour ,

La finalité est de résoudre a= \sum cos(x+b),

[benuel]

Là ça devrait être mieux:

L'objectif est de résoudre



x est l'inconnu

[ansset]

Pourquoi les 2 équations sont proches jusque pi/2 mais pas après, faut il utiliser Taylor à des ordres supérieurs??
.

parce que le dernier terme n'est négligeable que pour h petit au départ.

Là ça devrait être mieux:

L'objectif est de résoudre



x est l'inconnu

les bi sont il quelconques ?
et x proche ou pas de 0 ?
Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[benuel]

C'est bien le souci , bi est quelconque et x n'est pas proche de zéro

[ansset]

d'où vient cet exercice un peu "étrange" ?

[benuel]

je peux répondre en privé?

[ansset]

bien sur !

[ansset]

même si ta question peut intéresser d'autres lecteurs.
dans cet esprit, je ne vois qu'une démarche pragmatique ( si l'idée est bien de passer par les séries de Taylor )

celle ci revient à se ramener à chaque fois à un x' < pi/4 ce qui peut donner une assez bonne approximation finale.
donc de décomposer la somme ( chaque cos(x+bi) ) en fonction de l'intervalle dans lequel se retrouve x .
cette démarche est valable pour tout bi.

si 0<=x<pi/4 on applique le DL de base du Cos ( à l'ordre 2 )
si pi/4<=x<pi/2 on pose x'=x-pi/4
cos(x+bi)=cos(x'+bi+pi/4)=(rac(2)/2)(cos(x'+bi)-sin(x'+bi))

cela suppose de faire en parallèle
-un DL de sin(bi+h) ( à l'ordre 3)
-d'exprimer la formule en fonction de la valeur de x. ( mais celle-ci reste indépendante de bi, uniquement dépendante de l'intervalle ou se trouve x )
-de faire toutes les expressions en fct des intervalles ou se trouve x.
car je n'ai fait que donner un autre intervalle, mais les équations se ressemblent.

ps : je n'ai pas fait de simulation, mais je pense que l'erreur doit être raisonnable ( à condition d'avoir un nb raisonnable de bi )

[benuel]

Merci

je crois avoir saisi le principe.

Je regarde cela

[gg0]

Bonjour Benuel.

Ton équation où a, n et les sont connus :

peut se résoudre de façon exacte en développant les cos :



Puis, en posant

et en choisissant et de façon que
la fonction sinusoïdale du second membre se simplifie :

L'équation devient donc

Si A=0, alors si a=0, tout x est solution, sinon il n'y a pas de solution. Dans la suite A est non nul.
Si il n'y a pas de solution
Sinon, il existe un unique nombre f tel que
Et on est ramené à résoudre


Cordialement.

[benuel]

Bonjour gg, effectivement, cela donne une résolution exacte!!

Pas si compliqué finalement... mais bon après coup...

Merci beaucoup