transformée du cos(a+b) e série de taylor
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transformée du cos(a+b) e série de taylor



  1. #1
    invite9fa22c46

    transformée du cos(a+b) e série de taylor


    ------

    Bonjour à tous.

    J'utilise les série de Taylor pour transformer cos(a+b), je ne suis pas sûr de mon raisonnement :

    D'après Taylor :
    f(a+h) = f(a)+hf'(a) +h²/2f''(a) + h²epsi(h)

    epsi(h) tend vers 0 quand h tend vers 0. (je néglige)

    Si je souhaite transformer cos(a+b), ni a, ni b ne tende vers 0.

    On a cos(a+b) = cos(a)-bsin(a)-b²/2cos(a) .

    Si par exemple a = 0.1 rad
    je fais varier b de de 0 à pi de 0.01 en 0.01, alors effectivement cos(a+b) = cos(a)-bsin(a)-b²/2cos(a) sont très proche l'un de l'autre mais jusqu'à pi/2, après cela diverge fortement.

    La question : faut il forcément que b tende vers 0 ou pas? (est ce que ce que j'ai fais est correct?)
    Pourquoi les 2 équations sont proches jusque pi/2 mais pas après, faut il utiliser Taylor à des ordres supérieurs??

    Merci par avance.

    -----

  2. #2
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    rebonjour ,

    La finalité est de résoudre a= \sum cos(x+b),

  3. #3
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    Là ça devrait être mieux:

    L'objectif est de résoudre



    x est l'inconnu

  4. #4
    invite51d17075

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    Citation Envoyé par benuel Voir le message
    Pourquoi les 2 équations sont proches jusque pi/2 mais pas après, faut il utiliser Taylor à des ordres supérieurs??
    .
    parce que le dernier terme n'est négligeable que pour h petit au départ.
    Citation Envoyé par benuel Voir le message
    Là ça devrait être mieux:

    L'objectif est de résoudre



    x est l'inconnu
    les bi sont il quelconques ?
    et x proche ou pas de 0 ?
    Cdt

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    C'est bien le souci , bi est quelconque et x n'est pas proche de zéro

  7. #6
    invite51d17075

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    d'où vient cet exercice un peu "étrange" ?

  8. #7
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    je peux répondre en privé?

  9. #8
    invite51d17075

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    bien sur !

  10. #9
    invite51d17075

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    même si ta question peut intéresser d'autres lecteurs.
    dans cet esprit, je ne vois qu'une démarche pragmatique ( si l'idée est bien de passer par les séries de Taylor )

    celle ci revient à se ramener à chaque fois à un x' < pi/4 ce qui peut donner une assez bonne approximation finale.
    donc de décomposer la somme ( chaque cos(x+bi) ) en fonction de l'intervalle dans lequel se retrouve x .
    cette démarche est valable pour tout bi.

    si 0<=x<pi/4 on applique le DL de base du Cos ( à l'ordre 2 )
    si pi/4<=x<pi/2 on pose x'=x-pi/4
    cos(x+bi)=cos(x'+bi+pi/4)=(rac(2)/2)(cos(x'+bi)-sin(x'+bi))

    cela suppose de faire en parallèle
    -un DL de sin(bi+h) ( à l'ordre 3)
    -d'exprimer la formule en fonction de la valeur de x. ( mais celle-ci reste indépendante de bi, uniquement dépendante de l'intervalle ou se trouve x )
    -de faire toutes les expressions en fct des intervalles ou se trouve x.
    car je n'ai fait que donner un autre intervalle, mais les équations se ressemblent.

    ps : je n'ai pas fait de simulation, mais je pense que l'erreur doit être raisonnable ( à condition d'avoir un nb raisonnable de bi )

  11. #10
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    Merci

    je crois avoir saisi le principe.

    Je regarde cela

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    Bonjour Benuel.

    Ton équation où a, n et les sont connus :

    peut se résoudre de façon exacte en développant les cos :



    Puis, en posant

    et en choisissant et de façon que
    la fonction sinusoïdale du second membre se simplifie :

    L'équation devient donc

    Si A=0, alors si a=0, tout x est solution, sinon il n'y a pas de solution. Dans la suite A est non nul.
    Si il n'y a pas de solution
    Sinon, il existe un unique nombre f tel que
    Et on est ramené à résoudre


    Cordialement.

  13. #12
    invite9fa22c46

    Re : transformée du cos(a+b) e série de taylor

    Bonjour gg, effectivement, cela donne une résolution exacte!!

    Pas si compliqué finalement... mais bon après coup...

    Merci beaucoup

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