Transformations du plan

[invite0a1e1d8d]

Bonjour à tous. Je suis en première S et, en cours, on a corrigé deux exercices mais, en les relisant, je me suis rendue compte que je n'avais pas compris la correction. Pourtant, en les corrigeant, il me semblait que tout était clair !

Voici les exercices (on suppose qu'un repère (O; i,j) orthonormal a été choisi) :

Ex 1:
On donne le vecteur u = -i + 4j et on note tu la translation de vecteur u.
Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation de la droite d' image de d par tu.
1) d a pour équation 2x-y+5=0
2) d est la droite (AB) avec A(2;-5) et B (5;-3)
3) d a pour équation 4x+y-2=0

Correction :
1) d' : y=2x+11
2) d' : y=(2/3)x+(-5/3)
3) d'=d car u est un vecteur directeur de d


Ex 2 :
On donne le point S de coordonnées ((-1/2);1) et on note s la symétrie de centre S.
1) Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation de la droite d' image de d par s.
a) d a pour équation x+2y-1=0
b) d a pour équation 4x+y+1=0
2) Un point M a pour coordonnées (x;y). Calculez, en fonction de x et y, les coordonnées de M', image de M par s.

Correction :
1)a) d' : y=(-1/2)x+1
b) d'=d car S appartient à d
2) M'((-1-x);(2-y))

Je voudrais que vous m'expliquiez ces corrections s'il vous plait. Merci à tous pour votre aide.
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[invitea3eb043e]

Tout ça tourne autour de la notion de transformation comme tu dis toi-même.
L'idée est que le point M de coordonnées (x;y) se transforme en un point M' de coordonnées (x';y') et que la relation entre x et y se traduit par une relation entre x' et y'.
Exemple 1 :
La translation de vecteur de coorodnnées (-1;4) transforme x en x' = x - 1 et y en y' = y + 4.
Dès lors, tu peux calculer à l'inverse :
x = x'+1 et y = y' - 4
Et si tu écris que 2 x - y + 5 = 0, tu trouves une relation entre x' et y' qui n'est autre que la droite transformée de (D) par la translation.

Itou, le point A (2;-5) devient A' (2-1;-5+4) et idem pour B. Tu peux ensuite écrire l'équation de la droite passant pas A' et B' (c'est dans ton cours, ça).

Enfin, tu sais que la droite d'équation a x + b y + c = 0
est perpendiculaire au vecteur (a;b) et parallèle au vecteur (-b;a) ou bien (a;-b). C'est dans ton cours.
Dans ce cas, la droite est parallèle au vecteur (-1;4).
Tu as alors le choix, ou bien refaire le même calcul qu'en (1) ou bien dire qu'une droite ne change pas quand on la translate parallèlement à elle-même. Le résultat est le même.

Pour le 2ème exo, tu vas écrire que le centre de symétrie S est le milieu du segment MM' (c'est la définition), donc qu'entre x et x', y et y', on a les relations :
x + x' = 2*x(du point S)
y + y' = 2*y(du point S)
ensuite, tu déroules exactement comme avant.

[invitec314d025]

Je te montre comment faire pour la première question, et tu peux essayer de le refaire les autres.

Tu prends un point M de coordonnées (x;y) sur la droite d. Son image par tu est le point M' de coordonnées (x';y'), avec x' = x - 1 et y' = y + 4, puisque MM' = u (en vecteurs).
Or M est sur la droite d donc : 2x - y + 5 = 0
D'où : 2(x'+1) - (y'-4) + 5 = 0
et donc : 2x' - y' + 11 = 0
M' est donc sur la droite d'équation y = 2x + 11

[EDIT : devancé par Jeanpaul]

[invite0a1e1d8d]

OK Merci à tous pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]