DM de Terminale S

[invite242b1967]

Bonjour !
Je suis en terminale S et j'ai un devoir maison à rendre pour le mardi 12/09.
Mais cela fait 5 jours que je bloque dessus.
Pouvez-vous m'orienter vers la solution* ?
Voilà l'énoncé :

En 2016, un institut de sondage a mené une enquête sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en 2 catégories :
**** • la catégorie A composée des assurés qui paient en agence
**** • la catégorie B, composée de ceux qui paient en ligne
En 2016, 92% ont payé en avance.
On admet que d'une année à l'autre, 4% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1% des assurés de la catégorie B passent à la A.
On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un individu fait partie d'une seule catégorie.
Pour tout entier naturel n, on considère l'année 2016+n et on note :
**** • a(n) la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, face partie de la catégorie A
**** • b(n) la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, face partie de la catégorie B

1) Preciser les valeurs de a (0) et de b (0).** Là, j'ai repondu a (0) = 0.92* et b (0) = 0,08

2) Donner la valeur de a (n) + b (n).*** Là, j'ai dit que c'est égal à* 1 car c'est la somme* d'événements contraires

3) Justifier que, pour tout entier naturel, a (n+1) = 0,95a (n) + 0,01

4) On considère u (n) la suite définie par u (n) = a (n) - 0,2
* Démontrer que u est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
* En déduire une expression de u(n), puis de a (n), en fonction de n, pour tout entier naturel.

Je bute sur la 3 et la 4.
Pour la trois, je ne vois absolument pas comment arriver à cette expression. J'ai essayer de dire que a (n+1) = 0,96a (n) + 1,99a (n)** mais ça ne va pas.
Pour la 4, je ne voit pas du tout en quoi c'est une suite géométrique.

Merci d'avance pour votre aide
-----

[invite51d17075]

On admet que d'une année à l'autre, 4% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1% des assurés de la catégorie B passent à la A.
On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un individu fait partie d'une seule catégorie.

3) Justifier que, pour tout entier naturel, a (n+1) = 0,95a (n) + 0,01

bonsoir,
il faut simplement mettre ces énoncés en équation.
chaque année le groupe A perd 4% de ses assurés , et en même temps gagne 1% des assurés B.
donc
a(n+1)=0,96a(n)+0,01b(n)
Or, a(n)+b(n)=1 donc
b(n)=1-a(n) que l'on remplace dans l'équation
a(n+1)=0,96a(n)+0,01(1-a(n)) soit
a(n+1)=(0,96-0,01)a(n) +0,01
a(n+1)=(0,95)a(n)+0,01

[invite242b1967]

bonsoir,
il faut simplement mettre ces énoncés en équation.
chaque année le groupe A perd 4% de ses assurés , et en même temps gagne 1% des assurés B.
donc
a(n+1)=0,96a(n)+0,01b(n)
Or, a(n)+b(n)=1 donc
b(n)=1-a(n) que l'on remplace dans l'équation
a(n+1)=0,96a(n)+0,01(1-a(n)) soit
a(n+1)=(0,96-0,01)a(n) +0,01
a(n+1)=(0,95)a(n)+0,01

Oh je vois ! Merci beaucoup pour votre aide !

Est-ce que vous auriez une idée pour la suite ? Pour moi, il s'agirait plutôt d'une suite arithmétique, je ne reconnaît pas la suite géométrique.

[invite51d17075]

Est-ce que vous auriez une idée pour la suite ? Pour moi, il s'agirait plutôt d'une suite arithmétique, je ne reconnaît pas la suite géométrique.

bjr,
comme tu dois le savoir une suite géométrique suit la règle
u(n+1)=q*u(n) ( avec q un réel constant )
c'est donc ce qu'il faut montrer ici en passant par la définition de u(n) en fct de a(n).
( donc en démarrant par u(n+1)=...... et en utilisant sur ce qui a été démontré plus haut concernant a(n+1))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite242b1967]

D'accord !
Merci infiniment pour votre temps et vos explications !

[invite242b1967]

J'ai (encore) un souci :
Pour prouver que u (n) est une suite géométrique, j'ai commencé par exprimer dans un système u (n) et u (n+1) ce qui me donne :

u (n) = a (n)-0,2
u (n+1)=0,95a (n)-0,19

Et là, je n'arrive pas à trouver de raison ni à exprimer u (n+1) en fonction de u (n)

Merci encore

[invite51d17075]

tu connais u(n) en fct de a(n) , donc tu connais a(n) en fct de u(n) !

[invite242b1967]

tu connais u(n) en fct de a(n) , donc tu connais a(n) en fct de u(n) !

Ah mais oui bien sûr !!
C'est tellement evident, je me sens un peu idiote d'avoir posé la question :')
En tout cas, merci énormément pour votre explication et votre patience !

[invite242b1967]

Mais la suite est donc arithmético-géométrique non ?
Puisque u (n+1)=-0,95u (n)-0,38 ?

La raison est donc de -0,95, mais comment est-ce que je peux trouver le premier terme u(0) ?

[invite51d17075]

tu as du faire une erreur de calcul.
revérifie les.
u(n) est bien géométrique de raison 0,95

[invite51d17075]

erreur de signes en passant de a(n) à u(n)

[invite242b1967]

Merci, c'est corrigé !
Donc q=0,95 et le premier terme est u (1)=0 pour tout entier naturel ?

[invite51d17075]

non, comment calcules tu ton u(1) ?
d'ailleurs le premier terme est u(0)

[invite242b1967]

Ou plutôt u (0) = 0 ?

[invite51d17075]

u(0) dépend ( par définition ) de a(0).
là tu me fais le coup de : je balance des trucs au pif et j'attend la correction ......
fais un effort STP !

[invite242b1967]

U (n) = 0,95n
Donc u (0)=0

[invite242b1967]

U (0) =0,92-0,2
= 0,90

Pardon, je n'ai jamais compris ce passage des suites... on nous donnait très souvent le premier terme, et je ne comprenais pourquoi il s'agissait de u (0) et parfois de u (1) ni comment le calculer.
Maintenant je crois que j'ai compris ! Merci beaucoup et désolée

[invite242b1967]

U (0) =0,92-0,2
= 0,90

Pardon, je n'ai jamais compris ce passage des suites... on nous donnait très souvent le premier terme, et je ne comprenais pourquoi il s'agissait de u (0) et parfois de u (1) ni comment le calculer.
Maintenant je crois que j'ai compris ! Merci beaucoup et désolée

U (0)=0,70 pardon !!

[invite242b1967]

U (0)=0,70 pardon !!

Je voulais dire 0,72 !!!

[invite51d17075]

ouf !
reste à écrire proprement
u(n)= .... puis
a(n)=