récurrence et suite

[Mr_Anonyme]

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire mais je ne comprends plus à partir de la deuxième question voici le sujet:

Un+1=racine(Un+12) et U0=8

1/ Démontrer que pour tout entier n: Un>=4 (j'ai réussi en utilisant le raisonnement par récurrence)

2/ Conjecturer par la méthode de votre choix le comportement de la suite (Un) (là je pense qu'il faut calculer les premiers termes de la suite et montrer que c'est décroissant vu qu'il s'agit d'une conjecture mais j'hésite à faire Un+1-Un pour montrer dans le cas général.

3/

a) Démontrer que pour tout n appartenant à N: Un+1 -4<= 1/4(Un-4) (Je pense qu'il faut encore utiliser le raisonnement par récurrence mais je ne suis pas sûre)

b) En déduire que pour tout n appartenant à N: Un-4<= 1/4^n-1

4/ La suite (Un) est-elle convergente ? Si oui déterminez sa limite

Merci de vouloir bien m'aider
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[Tryss2]

Pour le 2), on te demande de faire une conjecture, pas de démontrer quoi que ce soit. Tu n'as rien à prouver rigoureusement ici.

Pour le 3)a), non, il ne faut pas utiliser une récurrence. Ce qu'il faut faire ici, c'est montrer que pour On a (et après, on pose )

C'est pour le b) que tu va avoir besoin de la récurrence