résoudre une èquation a 2 inconnus

[invite0cd0218c]

tout d'abord bonsoir,
alors voila j'ai une question :

comment m'y prendre pour résoudre une telle équation et est-ce possible ?

l'équation en question : 4(b-(5/2))=-1(a-1)

les inconnus éant a et b.

merci d'avance pour vos réponses
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous ne pouvez pas déterminer deux inconnues avec une seule équation.

Si je pose a = 1, alors b = 5/2 dans votre équation.
Si je pose a = 0, alors b = 11/4, etc.

Il est possible de restreindre l'ensemble des valeurs "qui marchent", si vous avez des contraintes supplémentaires, comme par exemple a et b entiers. Et encore là, il est possible qu'il y ait une infinité de solutions (s'exprimant sous la forme a en fonction de b ou vice versa).

[curieuxdenature]

comment m'y prendre pour résoudre une telle équation et est-ce possible ?

l'équation en question : 4(b-(5/2))=-1(a-1)

Bonjour

si je ne m'abuse, cela revient à résoudre une équation diophantienne, il faut voir le contexte.
Dans ce cas, regarde du côté de l'algorithme d'Euclide, et plus proche, le théorème de Bezout.
Le problème consiste à poser (après simplification) a + 4B = -9 et à trouver toutes les solutions se situant entre deux bornes.

Exemple:
en imposant x=a et y=B, les bornes -10 à +10, je trouve ces solutions (entières) :

Equation : 1x + 4y = -9
PGCD : 1
[u, v, pgcd]

[9, -2, 1]
[7, -4, 1]
[5, -1, 1]
[3, -3, 1]
[1, 0, 1]
[-1, -2, 1]
[-3, 1, 1]
[-5, -1, 1]
[-7, 2, 1]
[-9, 0, 1]

Toutes ces solutions répondent au problème posé.

Au hasard : x=5 y=-1 ---> (1*5) + (-1 * 4) = 1
si c'est correct pour 1 cela l'est aussi pour -9, en posant x=5*-9 et y=(-1*4)*-9

Je ne sais pas si c'est au programme par contre...

[invite51d17075]

Equation : 1x + 4y = -9

non c'est plutôt
x+4y=11
qui est bien une équation diophantienne , à résoudre avec l'algorithme d'Euclide étendu.
comme tu sembles l'avoir fait ( mais avec une mauvaise équation )
Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

@albanxiii :

On demande de résoudre l'équation, pas de déterminer a et b.

"Résoudre une équation" signifie "donner l'ensemble de ses solutions", ce que l'on peut tout à fait faire ici

[curieuxdenature]

non c'est plutôt
x+4y=11
qui est bien une équation diophantienne , à résoudre avec l'algorithme d'Euclide étendu.
comme tu sembles l'avoir fait ( mais avec une mauvaise équation )
Cdt

Bonjour

exact, j'ai fait ça vite fait sur un coin de nappe comme on dit, i am sorry.

[curieuxdenature]

Du coup, quelques solutions avec les mêmes bornes

Equation : 1x + 4y = 11
PGCD : 1
[u, v, pgcd]
[-9, 5, 1]
[-7, 2, 1]
[-5, 4, 1]
[-3, 1, 1]
[-1, 3, 1]
[1, 0, 1]
[3, 2, 1]
[5, -1, 1]
[7, 1, 1]
[9, -2, 1]

[invite51d17075]

il y a un soucis,
si on les dénomme dans ton ordre de présentation,
les "solutions" impaires (1,3,..) donnent le bon résultat, et les paires un résultat=1 et pas 11.
Cdt

[curieuxdenature]

Bonjour ansset et tous

si j'en crois l'algo d'Euclide c'est normal.
Dans cette détermination il faut poser x + 4y = 1 comme solution(s) particulière(s)
ensuite on extrapole pour = 11 comme solution(s) générale(s)

Autrement dit, si une solution est correcte pour = 1 elle le sera aussi en multipliant chaque [u, v] par 11
C'est à l'utilisateur de faire le boulot de recherche de toutes les solutions.

Euclide1.jpg

Euclide2.jpg

[invite51d17075]

Il s'agissait donc d'une étape intermédiaire ?
cela n'apparaissait pas clairement puisque le déroulé de la démo est absent.
Cdt