factorisation dm maths

[invite766fb2a0]

bonjour, je dois montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N* , ∑(k allant de 1 à n )k²=n(n+1)(2n+1)/6
j'ai commencer à le faire mais il y a une étape que j'arrive pas à le faire.

initialisation: pour n=1
1² =1 1(1+1)(2*1+1)/6 = 6/6=1 p(1) VRAIE

heredité: on suppose que pour n donné ∑ k²=(n+1)(2n+1)/6,
on veut montrer au rang p(n+1) que ∑(k allant de 1 à n+1) k²=(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]/6

∑(k allant de 1 à n+1) k² = ∑(k allant de 1 à n) k² + (n+1)²
= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² ............hypothèse de récurrence
= n(n+1)(2n+1) +6(n+1)² /6
= n(n+1)(2n+1) +6(n+1)(n+1) /6
= (n+1)[n(2n+1) +6(n+1)] /6


c'est à partir de là que j'arrive pas à factoriser pour trouver (n+1)(n+2)[2(n+1)+1]/6

Y a t-il une astuce pour pouvoir factoriser ? je ne vois pas comment passer de "(n+1)[n(2n+1) +6(n+1)] /6" à "(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]/6".
merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Vous avez déjà votre n+1, et le reste est un polynome du second degré en n, ce que, sauf changement récent des programmes, vous devez savoir factoriser depuis le collège

[Resartus]

Re,
Après vérification, c'est maintenant au programme de seconde (on a du mal à suivre, tellement cela baisse vite). Mais je vais supposer que vous êtes déjà passé par là...

[invite766fb2a0]

(n+1)[n(2n+1) +6(n+1)] /6

P(n)=n(2n+1) +6(n+1)=2n²+7n+6
x'=-2 et x''=-3/2 sont racines de p
P(n) = 2(n+2)(n+3/2)
P(n) = (n+2)(2n+3)= (n+2)(2(n+)+1)

donc (n+1)[n(2n+1) +6(n+1)] /6 = (n+1)(n+2)(2(n+)+1) /6
Je pensais qu'on pouvait passer de (n+1)[n(2n+1) +6(n+1)] /6 à (n+1)(n+2)(2(n+)+1) /6 sans faire bcp de détails.
merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

beaucoup ?
tu exagères un peu , il y a parfois plus coriace !
cordialement.

autrement il te suffit de développer le second polynome ( celui attendu ) et vérifier qu'il est le même que le premier.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

... = (n+1)[n(2n+1) +6(n+1)]/6

Je propose la suite suivante (qui n'engage que moi ) :
... = (n+1)[2n²+7n+6]/6 (après développement et regroupement des termes de l'expression précédente)

L'idée est maintenant de faire apparaître le "2n+3". Pour cela décomposons 7n en 3n+4n
... = (n+1)[2n²+3n + 4n+6]/6
La factorisation devient assez évidente (pour chaque expression colorée).

Duke.