Petit problème avec la divisibilité et la congruence

[Raynor174]

Bonjour,
cela fait maintenant plusieurs heures que j'essaye de résoudre mes problèmes de maths, mais je n'y arrive pas, je viens donc quérir votre aide pour arriver à comprendre comment on résout ce genre de problème.
En premier, pourriez vous me dire comment on determine les entiers naturels n tels qu'une expression divise un entier ( dans mes exercise j'ai n³+2n²-1 qui doit diviser 5 et 2^n -1 qui doit diviser 9).
Puis notre prof nous a donné des exercices sur la congruence alors que nous l'avons pas encore trailer en cours, donc j'aime bien chercher mais quand on ne trouve pas, on ne trouve pas, quelle est la méthode pour répondre à la question : "Quel est l'ensemble E des entiers naturels n tels que 3n /(les trois barres horizontales)/ 7 (MOD 11) ?" ?
Et si on a deux entier tels que a /(les trois barres horizontales)/ 5 (MOD 7) et b /(les trois barres horizontales)/ 3 (MOD 7), comment trouver les restes de la division euclidienne de 7 par des nombre comme a²+11b ou ce genre de chose ?

J'espère que vous pourriez m'aider à résoudre ces exercices et que je pourrais y arriver à coprendre
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tu as dû lire de travers ton énoncé, car "n³+2n²-1 qui doit diviser 5 et 2^n -1 qui doit diviser 9" n'a pas trop de sens, sauf si n=0 ou 1 pour le premier et n=1 ou 2 pour le deuxième. Si tu ne comprends pas mieux ton énoncé que ce que tu as écrit, c'est normal que tu n'y arrives pas, tu ne sais pas ce que tu dois faire.
Si tu veux qu'on t'aide sur cet exercice, écris complétement l'énoncé, au mot près (changer un mot peut changer le sens de la phrase). D'ailleurs, en l'écrivant, tu trouveras peut-être seul ce qu'on te demande.

Pour les congruences, signifie simplement qu'il existe un entier relatif k tel que , autrement dit que a-b est un multiple de n. C'est tout. Avec ça, tu peux faire ton exercice.

Bon travail personnel !

[Raynor174]

Si on prend le premier exemple, la consigne est : "Déterminer les entiers naturels n tels que n³+2n²-1 soit divisible par 5"


Merci, je vais essayer de faire les exercices sur la congruence

[jacknicklaus]

Si on prend le premier exemple, la consigne est : "Déterminer les entiers naturels n tels que n³+2n²-1 soit divisible par 5"

Ce qui est l'inverse de ta 1ère formulation :

dans mes exercise j'ai n³+2n²-1 qui doit diviser 5"

En partant sur ta nouvelle formulation, un indice de résolution : factoriser l'expression n³+2n²-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ne pas confondre "divise" et "est divisible". De plus, on ne dit pas que n doit, mais que n peut et on veut savoir quand.
Très important : Comprendre l'énoncé.

Pour le premier, une piste possible : n³+2n²-1 se factorise par (n+1), dont tous les n tels que n+1 est un multiple de 5 conviennent. Reste à voir l'autre facteur ..

Cordialement.

[Raynor174]

Alors, j'ai trouvé qu'on pouvait écrire n³+2n²-1 sous la forme (n+1)(n²+n-1) mais donc après, je ne vois pas quoi faire, ou alors je ne vois pas comment faire.

Pour la question sur la congruence, on trouve donc que (3n-7) est un multiple de 11, il faudrait trouver tout les n, entiers naturels, pour que (3n+7) soit un multiple de 11 ? Sauf que la problème, je ne connais pas la méthode pour faire cela si c'est la bonne marche à suivre.

Merci pour mes soucis de vocabulaire

[jacknicklaus]

Alors, j'ai trouvé qu'on pouvait écrire n³+2n²-1 sous la forme (n+1)(n²+n-1)

si le produit de 2 entiers "xy" est divisible par 5, que peux tu conclure sur x ou y ?

[Raynor174]

Je pourrais conclure qu'x ou y est un multiple de 5 ?

[jacknicklaus]

oui.
je te laisse poursuivre...

[Raynor174]

Oui mais c'est le même problème que pour la question deux, quelle est la méthode pour trouver tout les multiple d'un nombre

[jacknicklaus]

Oui mais c'est le même problème que pour la question deux, quelle est la méthode pour trouver tout les multiple d'un nombre

tu plaisantes, là ?
tu es en train d'écrire que tu ne sais pas trouver une forme générale des entiers multiples de 5 !!??

[Raynor174]

Bha j'ai déjà essayer plusieurs fois, mais le problème c'est que je n'ai pas de méthode clair ni de marche suivre, j'y suis déjà arrivé mais à chaque d'une mauvaise manière selon mon professeur, que cela soit pour 5 ou n’importe quel autre entier

[Raynor174]

En soit la forme générale des entiers multiples de 5 serait, 5n mais là encore, et si c'est vrai, que dois-je faire, dois-je résoudre n-1=5n et n²+n-1 = 5n, j'ai aussi un problème de méthode, et c'est cela qui m'handicape beaucoup.

Et puis pour jacknicklaus, ce que tu dis ressemble à de la moquerie et c'est un peu désagréable, peut-être que j'ai des difficulté que tu n'as pas, tu dois avoir des raccourcis que je n'ai pas. Mais ce qui ne s'applique ici ne s'applique peut-être pas partout, peut-être as-tu des difficulté que je n'ai pas dans d'autre domaine, et je trouverais cela très vaniteux de me moquer de toi plutôt qu'essayer d'être pédagogue et de t'aider à comprendre des choses qui sont peut-être pour moi évidentes mais que tu ne maîtrises pas

[jacknicklaus]

Et puis pour jacknicklaus, ce que tu dis ressemble à de la moquerie

certainement pas. tout au plus un étonnement.

En soit la forme générale des entiers multiples de 5 serait 5n

Oui, tu vois que tu sais !

dois-je résoudre n-1=5n

non, pour deux raisons. D'une part c'est n+1 et non n-1, et d'autre part il n'y a pas de rapport entre le n de gauche (ton inconnue) et le n de droite (un entier quelconque). donc tu dois résoudre
n+1 = 5p
soit n = -1 + 5p
voilà, c'est fini ! tu viens de trouver une 1ère classe de solutions : tous les nombres de la forme -1 + 5p, p quelconque.

ou encore n = 4 [5] avec l'écriture en modulo 5 (-1 et 4 c'est pareil, modulo 5)

dois-je résoudre n²+n-1 = 5n, j'ai aussi un problème de méthode, et c'est cela qui m'handicape beaucoup.

donc ici nous devons résoudre n²+n-1 = 5p

tu peux te douter que la congruence de n par rapport à 5 va jouer un rôle.

une idée est de méthode très générale est donc de poser : n = 5x + y
x est un entier quelconque, y est dans {0,1,2,3,4}, et étudier quelles contraintes sur x ou x on va découvrir.

... à toi de faire !

[Raynor174]

Alors je m’excuse si j'ai pu être désagréable dans mes propos

Mais je ne peux pas répondre à la consigne : " déterminer les entiers naturels n ...." par tout les entier de la forme 5p-1 avec p quelconque ?
De même pourquoi -1 et 4, c'est pareil modulo 5, c'est parce qu'ils ont le même reste de la division euclidienne par 5 ?

Donc en gros il faudrait résoudre 5x+y avec y = 1;2;3 ect ? et encore pourquoi cette intervalle ? et puis pourquoi 5x+y alors qu'on a -1+5p (ou 5p-1) ?

[jacknicklaus]

Mais je ne peux pas répondre à la consigne : " déterminer les entiers naturels n ...." par tout les entier de la forme 5p-1 avec p quelconque ?

Mais si. Celà détermine parfaitement le sujet. Dire que les entiers {n = 5p -1, p dans N} sont solutions est une facon correcte de répondre.
Ainsi, par exemple, en se restreignant aux positifs, tu as démontré que les entiers {4,9,14,19,..} étaient solution. Vérifie le !
Une autre façon équivalente de le dire est "une solution est l'ensemble des entiers congrus à -1 modulo 5"

De même pourquoi -1 et 4, c'est pareil modulo 5, c'est parce qu'ils ont le même reste de la division euclidienne par 5 ?

exactement. Dire que n = -1 + 5p, c'est pareil de dire que n = 4 + 5(q-1)

Donc en gros il faudrait résoudre 5x+y avec y = 1;2;3 ect ? et encore pourquoi cette intervalle ??

y dans {0,1,2,3,4} seulement car ces 5 valeurs sont les seuls restes possibles d'une division euclidienne d'un entier par 5.

et puis pourquoi 5x+y alors qu'on a -1+5p (ou 5p-1) ?

rien à voir. ici on cherche à résoudre n²-n+1 divisible par 5 donc n²-n+1 = 5p.
on écrit qu'en tout généralité, un nombre n divisé par 5 a une partie entière x et un reste y. n = 5x + y. Et on écrit qu'un reste "y" ne peut prendre que 5 valeurs {0,1,2,3,4}
C'est vrai tout le temps !

Maintenant, j'aimerais stp que tu travailles un peu!

pars de n = 5x + y, remplace dans n²-5n+1 = 5p, et essaie de voir si tu peux en déduire une propriété intéressante de y....

[Raynor174]

D'accords, merci d'avoir levé toutes mes interrogations, j'ai maintenant compris

[jacknicklaus]

Donc tu as compris que la solution générale de (n+1)(n²-n+1) divisible par 5 est formée par
- d'une part, tous les n tels que n+1 divisible par 5. On a montré que c'était les { n = 5p -1, p dans N }
- d'autre part, tous les n tels que n² -n +1 divisible par 5. Il te reste à élucider ce cas.

bon travail.