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Fonctions : limites



  1. #1
    Nonimamie

    Fonctions : limites


    ------

    Bonsoir,

    Voici l'énoncé de deux exercices :

    Exercice 1 :
    Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=-x+1+1/x.

    On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1)Déterminer les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.

    2)Utiliser le logiciel Geogebra pour tracer les courbes Cf et la droite d'équation y=-x+1. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe Cf et la droite en plus infini et moins infini ?

    Vocabulaire : On dit que la droite d'équation y=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.

    Exercice 2 :

    Soit la fonction f définie par f(x)=(2x²-x-2)/(2x-3) sur R privé de 3/2.

    On considère la vue d'écran ci-contre qui donne la représentation graphique de la courbe Cf de la fonction f.
    Exercice 2.JPG

    1)Utiliser cette vue d'écran pour conjecturer :
    a)Les limites éventuelles de f en moins infini, plus infini et 3/2.
    b)Une équation de l'asymptote verticale à Cf.

    2)Vérifier par le calcul les conjectures précédentes.

    3)a)Quelle semble être l'allure de la courbe Cf lorsque x tend vers plus infini ou moins infini ?

    b)La fonction rationnelle f se comporte à l'infini comme le quotient 2x²/2x, donc comme x. On peut donc conjecturer que la courbe Cf prend la direction de la droite d'équation y=x. Construire Cf et cette droite D d'équatin y=x dans Geogebra. Que peut-on constater ?

    c)Quelle modification il semble nécessaire d'effectuer pour approcher de plus près les branches infinies de la courbe Cf par une droite. Tracer également cette droite dans Geogebra.

    4)a)Déterminer a, b et c tels que f(x)=ax+b+(c/(2x-3)) pour tout x différent de 3/2.

    b)Déterminer les limites de f(x)-(ax+b) en plus infini et moins infini avec les valeurs de a et b trouvées dans a). Que peut-on conclure ?


    J'ai réussi une bonne partie des questions. J'aimerais simplement que l'on vérifie mes réponses.
    J'ai réussi toutes les questions de l'exercice 1 mais j'ai plus de doutes sur l'exercice 2 (notamment les questions 2), 3)c)). Je ne comprends pas la question 4).


    Voici mes réponses :

    Exercice 1 :

    1)On détermine les limites de f(x)-(-x+1) en plus infini et moins infini.
    On a :
    f(x)-(-x+1)=-x+1+1/x+x-1=1/x

    Or, la limite de 1/x en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.

    Donc la limite de f(x) en plus infini est 0+ et en moins infini est 0-.

    2)
    Exercice 1.JPG

    On peut en déduire que la droite d'équation t=-x+1 est une asymptote oblique à Cf en plus infini et moins infini.

    Exercice 2 :

    1)a)On peut conjecturer que la limite de f(x) est plus infini quand x tend vers plus infini, moins infini quand x tend vers moins infini et 3/2 quand x tend vers plus 3/2.

    b)On peut conjecturer qu'il existe une asymptote verticale à Cf en x=3/2.

    2)On vérifie par le calcul les conjectures précédentes.

    On détermine les limites éventuelles de f.

    En plus infini ou moins infini, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré. Ainsi, f(x) se comporte comme 2x²/2x, soit x.
    Or, la limite en x quand x tend vers plus infini est plus infini, la limite en x quand x tend vers moins infini est moins infini et la limite en x quand x tend vers 3/2 est 3/2.

    Donc on a les mêmes limites pour la fonction f.

    On détermine l’asymptote verticale à Cf. ????

    3)a)Lorsque x tend vers plus infini ou moins infini, la courbe Cf semble prendre l'allure d'une droite.

    b)
    Exercice 2 question 3 c.JPG

    On constate une symétrie de part et d'autre de la droite D d'équation y=x.

    c)On peut approcher de plus près les branches infinies grâce à l'asymptote verticale x=3/2.

    4)a) ?????

    Merci beaucoup pour votre aide !
    Nonimamie

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Fonctions : limites

    Bonjour.

    Des réponses sur cet autre site.

  4. #3
    eudea-panjclinne

    Re : Fonctions : limites

    L'exercice et sa solution sont confuses. Les représentations graphiques ne correspondent pas.
    Les solutions données sur les mathématiques.net pour la question 4) de l'exercice 2 sont à mon avis hors niveau de cette élève. Je pense qu'il faut utiliser ce qui a été fait avant pour résoudre cette question, mais la confusion du texte (même nom pour les fonctions de l'exercice 1) et 2)) et la solution n'améliorent pas le lisibilité de l'ensemble.
    Disons qu'après avoir conjecturé que l'asymptote oblique est y=x+1 on fait comme dans l'exercice 1) la différence f(x)-(x+1)...
    Mon simple avis sur la chose

  5. #4
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Je voudrais savoir si mes conjectures de la question 1 de l'exercice 2 sont correctes.

  6. #5
    gg0

    Re : Fonctions : limites

    Cela t'a été dit ailleurs. Est-ce utile de te répondre ici si tu ne lis pas les réponses ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Bien entendu que je lis les réponses mais ces dernières n'ont pas été explicitement dites !

  9. Publicité
  10. #7
    eudea-panjclinne

    Re : Fonctions : limites

    1)a)On peut conjecturer que la limite de f(x) est plus infini quand x tend vers plus infini, moins infini quand x tend vers moins infini et 3/2 quand x tend vers plus 3/2.
    J'ai mis en rouge ce qui est faux.

  11. #8
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Oui, il n'y a pas de limite en 3/2 ! C'est ça ?

  12. #9
    gg0

    Re : Fonctions : limites

    oui, plus exactement il y en a 2.

    Cordialement.

  13. #10
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Une limite à gauche et une limite à droite !

  14. #11
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Et j'aimerais être sûr de ma réponse à la question 1 de l'exercice 1 ?! Merci ...

  15. #12
    Nonimamie

    Re : Fonctions : limites

    Merci pour vos réponses.

    J'ai réussi toutes les questions sauf la 3)b) et la 3)c).

    Pour les questions 4, j'ai trouvé :
    a=1, b=1 et c=1 en résolvant l'équation

    Pour le petit b), je trouve que la limite de f(x)-(x+1) est -3 en plus infini et moins infini. Est-ce cela ? Je ne sais pas ce qu'il faut mettre dans "Que peut-on en conclure" ?

    Merci et bonne soirée,
    Nonimamie

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  17. #13
    gg0

    Re : Fonctions : limites

    Citation Envoyé par Nonimamie Voir le message
    Et j'aimerais être sûr de ma réponse à la question 1 de l'exercice 1 ?! Merci ...
    Pourquoi aurais-tu un doute ? Tu n'as pas appliqué des règles mathématiques ?

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