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Nombres complexes

  1. #1
    Jon83

    Nombres complexes

    Bonjour à tous, et bonne année 2018!

    Je dois démontrer dans C que l'expression z^n+(conjugué z)^n est un nombre réel.
    Je l'ai fait par récurrence, c'est un peu laborieux mais faisable.
    N'y aurait-il pas une autre méthode ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Bonjour,

    Tout simplement : avec .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    Jon83

    Re : Nombres complexes

    Merci pour ta réponse, mais il faut admettre que conjugué (z^n)=(conjugué z)^n ?

  5. #4
    gg0

    Re : Nombres complexes

    C'est une conséquence élémentaire de la formule du conjugué d'un produit.

    Donc, comme souvent, tout dépend de ce que tu sais déjà et du degré de rigueur de rédaction que tu t'imposes.

    Cordialement.

    NB : En général, dans les exercices, on ne redémontre pas tout le cours.

  6. #5
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    Jon83

    Re : Nombres complexes

    OK, mais ensuite il faut faire une démonstration par récurrence ?

  8. #7
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.
    La curiosité est un très beau défaut.

  9. #8
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Si tu n'as jamais vu que : , il faut évidemment faire une récurrence pour le prouver.
    Mais c'est une formule usuelle, dont on se sert régulièrement, et qui devrait être dans ton cours. Tu la verras peut-être la semaine prochaine, et cet exercice sert alors à s'y préparer.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  10. #9
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.
    Il faut une récurrence pour établir : , idem pour l'argument…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Cet exercice est un exemple typique d'application des formules de Moivre et d'Euler.
    La curiosité est un très beau défaut.

  12. #11
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il faut une récurrence pour établir : , idem pour l'argument…
    Mouais, je ne vois pas trop pourquoi tu t'attardes sur les modules alors que l'utilisation de Moivre-Euler fait déjà tout le travail. Après,c'est vrai que la démonstration de la formule d'Euler est plus compliquée mais je ne suis pas sûr qu'on ait besoin de récurrence pour la déterminer.
    La curiosité est un très beau défaut.

  13. #12
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

    Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.
    Dernière modification par God's Breath ; 07/01/2018 à 10h59.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #13
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

    Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.
    Si tu veux, on peut aussi très bien utiliser cette formule mais je ne vois toujours pas l'intérêt d'utiliser un raisonnement par récurrence(même pour introduire les propriétés liées aux puissances - Moivre) qui me semble superflu et rajoute donc une difficulté inutile.
    La curiosité est un très beau défaut.

  15. #14
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #15
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…
    z=A.e(i.phi) d'où z^n=(A.e(i.phi))^n=A^n.(e(i.ph i))^n=A^n.e(i.n.phi). Je ne vois pas où j'ai utilisé de récurrence à moins que vous n'évoquiez de redémontrer par exemple x.x.x.x=x^4 par récurrence en se servant de x.x^n=x^(n+1) mais cela revient à redémontrer laborieusement des résultats connus depuis le collège...
    La curiosité est un très beau défaut.

  17. #16
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Je ne sais pas prouver sans récurrence… et, dans un cours normalement constitué, si on a prouvé , on a aussi prouvé parce qu'on étudie en principe le conjugué avant la forme trigonométrique…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #17
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si tu n'as jamais vu que : , il faut évidemment faire une récurrence pour le prouver.
    Mais c'est une formule usuelle, dont on se sert régulièrement, et qui devrait être dans ton cours. Tu la verras peut-être la semaine prochaine, et cet exercice sert alors à s'y préparer.

    z=A.e(i.phi) d'où z^n=(A.e(i.phi))^n=A^n.(e(i.ph i))^n=A^n.e(i.n.phi). De même, (conj(z))^n=A^n.e(-i.n.phi)). On voit tout de suite le résultat: conj(z^n)= (conj(z))^n.
    La curiosité est un très beau défaut.

  19. #18
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Je ne sais pas prouver sans récurrence… et, dans un cours normalement constitué, si on a prouvé , on a aussi prouvé parce qu'on étudie en principe le conjugué avant la forme trigonométrique…
    Donc en gros, cela revient à redémontrer (e^a)^b=e^(a.b). OK

    On part de la formule x^b=e^(ln(x^b))=e^(b.ln(x)). Je remplace x par e^a pour revenir au résultat recherché: (e^a)^b=e^(b.ln(e(a))=e^(a.b). Démonstration sans récurrence.
    La curiosité est un très beau défaut.

  20. #19
    gg0

    Re : Nombres complexes

    Désolé, B@z66,

    mais ta démonstration s'appuie sur une formule ne concernant que les réels (a et b sont des réels). Toi, tu veux l'appliquer dans un cas où elle ne s'applique pas.

    Rappel : La formule est fausse si b et c sont des complexes, et même, la première écriture n'a pas de signification conventionnelle si b est complexe et c n'est pas entier. Bien évidemment, je suppose que a est un réel strictement positif, ici et par la suite :
    est un complexe non réel si c n'est pas nul.
    Et il n'y a pas de définition conventionnelle pour les puissances non entière de complexes. Déjà, pour la puissance 1/2, il est nécessaire de choisir la bonne valeur parmi les deux racines carrées, et il n'y a aucune façon de la faire de façon conventionnelle et satisfaisante.

    Cordialement.

    NB : Pour n entier, la formule se démontre effectivement par récurrence (pour n>0) et extension aux exposants négatifs.
    NBB : Le logarithme d'un complexe pose encore plus de problèmes que la puissance 1/2.
    Dernière modification par gg0 ; 07/01/2018 à 13h10.

  21. #20
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Donc en gros, […]
    si c'est « en gros », ce n'est pas rigoureux…

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    On part de la formule x^b=e^(ln(x^b))=e^(b.ln(x)).
    Comment le logarithme d'un nombre complexe est-il défini ?

    Le problème est que la formule de Moivre ne fonctionne que parce que l'exposant est entier, donc la puissance représente un produit répété, et il y a nécessité absolue d'une récurrence sur le nombre de terme du produit.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  22. #21
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    si c'est « en gros », ce n'est pas rigoureux…



    Comment le logarithme d'un nombre complexe est-il défini ?

    Le problème est que la formule de Moivre ne fonctionne que parce que l'exposant est entier, donc la puissance représente un produit répété, et il y a nécessité absolue d'une récurrence sur le nombre de terme du produit.
    Si la fonction exponentielle d'un nombre complexe est définie, la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près). Le ln est défini suivant mes souvenirs par sa principale propriété tout d'abord: ln(a.b)=ln a+ ln b. Que a ou b soient réels ou complexes ne posent pas de problème en généralisant la fonction ln tant que la propriété est respectée. Après, le fait qu'on soit limitée avec le ln complexe à rester sur un domaine de définition restreint, par rapport aux arguments, pose problème et c'est sans doute effectivement là la faille de mon raisonnement ...
    La curiosité est un très beau défaut.

  23. #22
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Désolé, B@z66,

    mais ta démonstration s'appuie sur une formule ne concernant que les réels (a et b sont des réels). Toi, tu veux l'appliquer dans un cas où elle ne s'applique pas.

    Rappel : La formule est fausse si b et c sont des complexes, et même, la première écriture n'a pas de signification conventionnelle si b est complexe et c n'est pas entier. Bien évidemment, je suppose que a est un réel strictement positif, ici et par la suite :
    est un complexe non réel si c n'est pas nul.
    Je ne comprends déjà pas cette toute dernière formule: le premier terme de l'égalité dépend de b, le second n'en dépend plus.
    La curiosité est un très beau défaut.

  24. #23
    God's Breath

    Re : Nombres complexes

    Au niveau lycée, seules les vraies bijections ont une réciproque ; or la fonction exponentielle n'est définie que sur la droite réelle (qu'elle met en bijection avec ]0,+∞[) et sur le cercle unité, sur lequel elle est 2π-périodique donc non bijectives, mais la fonction exponentielle n'est pas définie sur tout le plan complexe (sur elle est au passage 2π-périodique), il est donc hors de question de faire des coupures, des déterminations principales, etc. toutes choses qui dépendent de l'analyse complexe de L2 ou L3.
    On se contente donc des exposants entiers et des récurrences sur les exposants.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  25. #24
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Au niveau lycée, seules les vraies bijections ont une réciproque ; or la fonction exponentielle n'est définie que sur la droite réelle (qu'elle met en bijection avec ]0,+∞[) et sur le cercle unité, sur lequel elle est 2π-périodique donc non bijectives, mais la fonction exponentielle n'est pas définie sur tout le plan complexe (sur elle est au passage 2π-périodique), il est donc hors de question de faire des coupures, des déterminations principales, etc. toutes choses qui dépendent de l'analyse complexe de L2 ou L3.
    On se contente donc des exposants entiers et des récurrences sur les exposants.
    Ok, merci bien pour ce rappel.
    La curiosité est un très beau défaut.

  26. #25
    gg0

    Re : Nombres complexes

    Il y a une typo dans ma formule, tu fais bien de le relever B@z66 :
    Dernière modification par gg0 ; 07/01/2018 à 16h23.

  27. #26
    gg0

    Re : Nombres complexes

    Et tu confirmes bien que la formule que tu utilises est fausse : " la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près)" (c'est moi qui souligne). Si la coupure est la classique coupure sur les réels négatifs (ils n'ont pas de ln), ln(i)+ln(i) ne peut pas donner ln(-1); et on a des problèmes de continuité du ln qui faussent tout. Sans compter que la propriété ln(a.b)=ln a+ ln b ne se conserve pas, par exemple, toujours avec la même coupure :



    Cordialement.

  28. #27
    gg0

    Re : Nombres complexes

    Encore une typo dans ma formule (parenthésage) :

  29. #28
    CARAC8B10

    Re : Nombres complexes




    Ah je n'avais pas vu qu'il y avait autant de réponses précédentes !
    Dernière modification par CARAC8B10 ; 07/01/2018 à 17h28.

  30. #29
    b@z66

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Et tu confirmes bien que la formule que tu utilises est fausse : " la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près)" (c'est moi qui souligne). Si la coupure est la classique coupure sur les réels négatifs (ils n'ont pas de ln), ln(i)+ln(i) ne peut pas donner ln(-1); et on a des problèmes de continuité du ln qui faussent tout. Sans compter que la propriété ln(a.b)=ln a+ ln b ne se conserve pas, par exemple, toujours avec la même coupure :



    Cordialement.
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Encore une typo dans ma formule (parenthésage) :
    Merci pour ces précisions, c'est vrai que ces domaines de définition limités compliquent bien la tâche. On peut d'ailleurs sans doute y mettre en rapport assez simplement avec le fait qu'on ne puisse pas définir facilement également des fonctions réciproques pour les fonctions puissances(réelles) sans limiter aussi leur domaine de définition(exemple, la fonction racine carré qui devrait donner deux valeurs opposés). La fonction logarithme complexe donnent aussi plusieurs résultat en fonction de l'expression de l'argument à 2kpi près. J'imagine qu'il devrait peut-être être possible de faire la démonstration de la propriété évoquée précédemment en utilisant une fonction logarithme complexe mais cela implique effectivement de pendre en compte ses limitations, ce qui est sans doute plus compliqué(à faire avec de grosse pincettes) que la démonstration "facile" faite avec le logarithme réel et on sort sans doute là du programme du lycée. Sinon merci pour la correction de l'expression mathématique de , ça me semble plus cohérent effectivement.
    Dernière modification par b@z66 ; 08/01/2018 à 17h47.
    La curiosité est un très beau défaut.

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