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Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes




  1. #1
    Bakaba

    Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour,

    Je suis un peu rouillé, mais je dois déterminer l'intersection unique de deux fonctions. Sauf que, les fonctions en questions sont :

    1/x et e^x

    J'ai perdu la méthode pour calculer l’abscisse et l'ordonnée du point d’intersection, je demande donc votre aide pour me rappeler comment ça marche.
    Merci d'avance. =)

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour.

    Les points de la courbe de la fonction f sont exactement ceux de coordonnées (x, f(x)), pour x dans le domaine de définition de f. Les points communs aux courbes de f et g sont ceux pour lesquels (x,f(x))=(x,g(x)).

    Donc pas besoin de se "rappeler comment ça marche", seulement connaître ces éléments de base du cours.

    Bon travail !

    NB : Dans le cas présent, aucune méthode de résolution exacte n'existe. L'énoncé ne doit pas demander de calculer x.

  4. #3
    Bakaba

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Merci d'avoir répondu. =)

    Ce n'est pas un énoncé... Je demande juste le calcul qui me permette de trouver le point d'intersection en valeur (x;y).
    Je me suis douté qu'il faille faire f(x)=g(x) pour trouver x, et son image (y). Sauf que, étant rouillé, je ne parviens pas à avancer après quelques manip. à cause de l'exponentiel...
    Je trouve, à priori, que xe^x=1, donc pour trouver x, je ne sais plus trop quoi faire. En passant mes vieux cours en revues, je n'ai pas trouvé comment faire "descendre" ce x pour qu'il soit calculable. A moins que je me trompe de méthode, je ne sais pas...

    C'est un casse-tête pour moi, mais j'en ai vraiment besoin, si quelqu'un parvient à trouver la réponse, je lui en serait reconnaissant.


  5. #4
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Dans le cas présent, aucune méthode de résolution exacte n'existe.
    Pourquoi as-tu besoin de cette intersection, si ce n'est pas un exercice ? Une représentation (à la main) des deux courbes sur [0;1] permet d'avoir une idée sur le nombre d'intersections et une représentation sur [0;1] permet d'avoir une valeur approchée.

    Si ça ne suffit pas, il va falloir justifier le pourquoi de cette interrogation.

  6. #5
    jacknicklaus

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Citation Envoyé par Bakaba Voir le message
    Je demande juste le calcul qui me permette de trouver le point d'intersection en valeur (x;y)
    Tu as déjà eu une réponse :

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    NB : Dans le cas présent, aucune méthode de résolution exacte n'existe.
    Et ce n'est pas une manière de botter en touche, cette équation ne permet pas de "sortir" le x. Comme très souvent dans les équations qui mélangent des polynômes et des exponentielles. Seule méthode, qui t'a déjà été suggérée : le calcul approché.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bakaba

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Merci des réponses.

    Déjà, je ne pense pas avoir besoin de me justifier sur comment j'utilise les réponses pour poser des questions. C'est un problème typiquement français de demander des justifications pour tout, alors qu'on veut juste avoir des réponses.
    J'estime être capable de me débrouiller seul quant à la manière d'utiliser des choses de manière responsable.
    De plus, si une intersection existe, c'est qu'elle est calculable. J'ai juste besoin de la valeur précise, pas d'une valeur approché ou graphique. Il me faut le calcul qui va avec.
    Mais bon, comme vous voulez absolument une justification alors qu'elle ne vous sert juste absolument à rien pour répondre à la question (Et non, l'exponentiel est une fonction défini, donc, il y a une réponse par le calcul), alors, je me vois contraint de terminer la discussion ici, d'autant plus qu'un forum anglophone m'a déjà donné un début de réponse concluant.

    Cordialement.

  9. #7
    jacknicklaus

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Citation Envoyé par Bakaba Voir le message
    De plus, si une intersection existe, c'est qu'elle est calculable. .
    ah oui ?

    Pourrais tu voir le cas de la fonction dzeta de Riemann et de ses zéros.

    c'est un petit problème d'intersection qui existe, donc on devrait pouvoir le calculer.

    merci de ton aide.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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  11. #8
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Ok,

    tu n'as pas à te justifier sur le pourquoi de ta question. Mais alors on a perdu notre temps à essayer de te répondre, de te guider.
    Belle preuve de reconnaissance !

    Bon vent !

  12. #9
    muzoter

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour,

    Passant par-là par hasard et également plutôt "rouillé" je me posais la question mais comment montrer l'unicité

    Soient x et y deux réels différents de zéro me disais-je, tels que 1/x=e^x et 1/y=e^y, alors logx-logy = log(x/y) = y-x donc y=x est solution mais est-ce la seule la question reste posée, comment montrer l'unicité
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  13. #10
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonsoir Muzoter.

    Pour l'unicité, on peut étudier, sur ]-oo, 0[ puis sur ]0;+oo[ la fonction différence e^x-1/x; sur le premier intervalle elle est de façon évidente positive, strictement; sur le deuxième elle est strictement croissante de -oo à +oo, donc prend une fois et une seule la valeur 0.

    Cordialement.

  14. #11
    muzoter

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour,

    Merci de cette aide mais la question pourrait se poser de montrer l'unicité algébriquement

    Sûr que les courbes e^x et 1/x sont suffisamment connues pour voir d'emblée, à l'aide des courbes, l'unicité du point d'intersection car sur ]0,+OO[ l'une est strictement croissante l'autre strictement décroissante mais alébriquement est-ce possible, je ne le pense pas

    remarque : si j'écris e^x=1/x je présuppose x strictement positif, même si je ne le dis pas expressément :

    Soient x et y deux réels différents de zéro me disais-je, tels que 1/x=e^x et 1/y=e^y
    à la limite je n'ai pas besoin de préciser "différents de zéro" car en fait tout est d'avance présupposé dans le "tels que" donc si un correcteur pas intelligent et y'en a m'ôte des points là-dessus je suis en droit de réclamer qu'il me les rende mais si le correcteur est intelligent et y'en a aussi mais moins il n'ôtera pas de points car, formellement, mathématiquement, la phrase que j'ai écrite est correcte


    e^x :





    1/x :

    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  15. #12
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour Muzoter.

    Je ne vois pas bien ici ce que peut vouloir dire "algébriquement". La fonction exponentielle n'est pas algébrique, au sens où ce n'est pas une fonction rationnelle (*). Si tu veux dire "par le calcul", alors il n'existe aucun calcul élémentaire qui parle des solutions de cette équation.

    Cordialement.

    (*) on peut même aller plus loin au sens où entre x et exp(x) il y a généralement au moins un nombre qui est transcendant.

  16. #13
    muzoter

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    ...

    - je note (1) l’égalité log(x/y) = y – x, pour x et y deux réels strictement positifs

    - donc maintenant j’admets qu’il existe a réel positif ou nul tel que x = y + a => (1) s’écrit log(y) – log(y + a) = a (ça pourrait être y = x + a mais bon il faut choisir)

    - or log est croissante strictement sur R+ \ {0} donc log(y) – log(y + a) est négatif ou nul pour tout y dans R+ \ {0} or par hypothèse a est positif ou nul donc forcément a = 0 et donc y = x, cqfd.

    au final, sauf erreur, ça semble possible de démontrer l'unicité par le calcul
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  17. #14
    gg0

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    " log est croissante strictement sur R+ \ {0} " C'est de l'analyse. Le passage de l'équation en exponentielle à l'équation en log aussi. Mais finalement, en utilisant l'idée analytique de croissance seulement, on prouve bien l'unicité (en supposant prouvée l'existence) :
    Supposons connues deux solutions x et y de l'équation exp(t)=1/t d'inconnue t. Pour des raisons de signe des fonctions, on sait que x et y sont strictement positifs. Supposons qu'ils sont différents; en échangeant au besoin les noms, on a x<y donc exp(x)<exp(y) (exp est une fonction strictement croissante) et 1/x>1/y (t-->1/t est strictement décroissante sur ]0,+oo[), donc les nombres exp(x)=1/x et exp(y)=1/y sont à la fois strictement inférieur et strictement supérieur l'un à l'autre. On conclut que x=y.

    En fait, c'est la démonstration que l'équation f(x)=g(x), si elle a une solution sur l'intervalle ]a,b[ où f est strictement croissante et g strictement décroissante n'a qu'une seule solution.
    Si c'est cela que tu voulais dire "par le calcul", c'est bien vu, même si c'est la traduction d'une idée intuitive.

    Cordialement.

  18. #15
    muzoter

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Oui il faut peut être aussi songer à prouver l'existence mais dans tous les cas la question posait sur la valeur exacte si j'ai bien compris, supposées établies l'existence et l'unicité là je ne pense pas que par le calcul ce soit franchement possible, qu'il faille approcher les valeurs dans tous les cas merci de votre aide et bonne chance à celui qui a posé la question bon courage à lui s'il trouve enfin les valeurs exactes
    I'm not a specialist : i don't know my lesson, but i can talk about the passage !

  19. #16
    DlzlogicPlus

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Bonjour,
    Ce sujet me fait penser à des problèmes tels que l'intersection d'un cercle et d'une clothoide, la longueur d'un arc d'ellipse, enfin, des truc comme ça.
    Souvent il n'existe pas de méthode pour trouver LA solution exacte. Par contre, il est nécessaire de trouver une valeur qui corresponde à la solution demandée.
    Les mathématiques nous apportent des méthodes pour trouver cette solution. Il y en a plusieurs, à chaque cas, il faut trouver la meilleure méthode.
    J'ajouterai que dans certains cas, ces méthodes sont plus efficaces que les méthodes donnant des résultats exacts. D'ailleurs ces méthodes sont appliquées dans la pratique. Un exemple, un point est défini par l'intersection de plusieurs lignes. Naturellement ces lignes ne se coupent pas en un seul point. Il est nécessaire de définir ce point. C'est là que certaines connaissances en mathématiques sont nécessaires.

  20. #17
    jacknicklaus

    Re : Calculer les coordonnées des points d'intersection de deux courbes

    Si la question n'avait été postée en maths du lycée et collège, on aurait pu dire que la valeur cherchée est W(1) (fonction de Lambert), mais je doute que cette réponse eût fait le bonheur du primoposteur.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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