Equation du second degré et trapèze rectangle

[foudefoot]

Bonjour à tout le forum,
J'ai un problème à résoudre, mais je ne sais comment m'y prendre. Voici l'énoncé, et la condition est de passer par une équation du second degré.
On considère un trapèze rectangle ABCD dont les dimensions sont données dans la figures en pièce jointe. on place un point M sur le segment [AB] et on note x la longueur AM en cm.
Il faut donner la ou les valeurs pour le(s)quelle(s), l'angle CMD est droit. Si quelqu'un pouvez me dire comment m'y prendre pour obtenir cette équation du type ax²+bx+c ça m’aiderai beaucoup. Bien évidemment, je ne vous demande pas de résoudre ce problème à ma place, mais une aide pour démarrer.
Merci d'avance.
Denis.
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[invite51d17075]

Sans avoir vu la pièce jointe, que j'imagine qu'il doit être droit en M,
ce qui implique que CM²+MD²=CD²
il me semble qu'il suffit de trouver x tel que cette propriété soit vraie.
et pour trouver CM et MD, utiliser le projeter orthogonal M' de M sur CD ( hauteur du trapèze en M )
donc CM'M et DM'M sont rectangles en M'

[gg0]

Bonjour.

Les longueurs CM, MD et CD peuvent facilement se trouver avec le théorème de Pythagore (pas besoin de projeter M, vue la figure). Pour CD, ne pas oublier de tracer la parallèle à (AB) passant par C.

Bon travail !

[invite51d17075]

Oui, c'est encore plus simple que la figure que j'imaginai. car le trapèze est rectangle en A et B,
donc effectivement, même pas besoin de projection, utilisable pour un trapèze quelconque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

pour un parallélogramme plutôt ( mal lu le titre )

[gg0]

Heu ...Ansset : Il n'y a pas de parallélogramme, ici.

Cordialement.

[invite51d17075]

je sais bien .... justement. c'était une confusion initiale ma part ( un mal lu de l'énoncé )

[foudefoot]

Bonjour à vous 2,
Merci pour vos réponses. Etant sortie de l'école il y a fort longtemps, j'ai besoin d'un peu plus d'aide. j'ai calculé la longueur du segment [DC] (11,18 cm). Mais comment calculer CM et DM avec seulement un angle (90°) et la longueur de l'hypoténuse?
Mais surtout comment calculer la longueur AM en utilisant une équation du second degré (qui est le but de ce problème)?
En vous remerciant d'avance.
Denis

[invite51d17075]

de la même manière que pour [DC]
DC²=(8-3)²+10²=125
d'ailleurs dans l'écriture des premières valeurs il est inutile de chercher les racines.
[DM]² et [CM]² font juste intervenir x.
par exemple :
[DM]²=[AD]²+[AM]² donc
[DM]²=64+x² et tu calcules de même [CM]² ( en fct de x aussi )
en écrivant que le triangle DMC est rectangle en M, tu retrouvera ton équation du second degré.

[foudefoot]

Dans ta solution, il y a à chaque fois 2 inconnues ([DM]² et x² ou [CM]² et x²). je ne sais pas résoudre ce genre d'équation, si on peut les résoudre.
Je suis complétement perdu, peux-tu me donner un exemple que je comprenne Cette solution.
Merci.

[gg0]

Donc, si je comprends bien, tu demandes qu'on fasse l'exercice à ta place !

Fais ce que te dit Ansset : Comme le triangle DMC est rectangle ... puis tu remplaces DM², CM² et DC² par leurs valeurs (exactes, pas 11,18 pour DC qui est une valeur approchée inexacte). Il n'y aura plus qu'une seule inconnue.

Bon travail personnel !

[invite51d17075]

reprenons, pour que ton rectangle soit rectangle en M, il faut que

1) CM²+MD²=CD²

tu connais CD²
je t'ai montré comment écrire MD² ( même chose que DM² ) en fct de x
à toi de faire de même et d'écrire CM² en fct de x
et de tout remettre dans l'équation 1) initiale.

edit : croisement.

[foudefoot]

@gg0
Non, je ne vous demande pas de faire l'exercice à ma place ça ne changera pas le fait que je ne comprend pas, ça me donnera juste la bonne réponse. Je veux avant tout comprendre, la bonne réponse est secondaire.

Donc, si je comprend bien,
DM² = AD²+AM² et CM² = BC²+BM²
donc:
CD²= CM²+DM² => CD² = (BC²+BM²)+(AD²+AM²)
Si je remplace AM² et BM² par x² ça me donne
CD² = BC²+x²+AD²+x² d'où 2x²= CD²-(BC²+AD²) donc 2x² = 125-(3²+8²) = 52 donc x ~ 5,1
Est-ce-que mon résonnement est juste?
Merci pour vôtre patience.

[gg0]

Non, il y a un gros problème !

"Si je remplace AM² et BM² par x² ..." drôle d'idée ! x c'est AM. Pourquoi veux-tu fausser les calculs en remplaçant BM par x ???

Cordialement.

NB : C'est un raisonnement, pas un résonnement qui est le fait de résonner, de prolonger le bruit.

[foudefoot]

OK, donc CD² = BC²+BM²+AD²+x² donc 125= 3²+BM²+8²+x² d'où x²= 125-(3²+BM²+8²). Je me retrouve toujours avec 2 inconnues, je peux éventuellement passer BM² à gauche de l'expression, mais je me retrouve avec le problème de départ. Je ne sais toujours pas résoudre mon problème.
Merci de m'aider à y voire plus claire.

[gg0]

Voyons !!

Tu peux facilement donner la longueur de BM à l'aide de x. Si tu enlèves un longueur x =AM à AB = 8, il reste BM= ??

[invite51d17075]

AB=10 , ( ptite correction pour ne pas le perdre )

[foudefoot]

Je peux donc écrire que:
DC² = AD²+x²+(AB-x)²+BC² d'où DC² = AD²+x²+AB²-2ABx+x²+BC²
donc:
125 = 64+x²+100-2ABx+x²+9
Mon raisonnement est-il juste?
Merci
Denis

[gg0]

Pourquoi avoir conservé AB ?
Tu aurais directement écrit -x à la place de AB-x, tu aurais presque fini
Il ne te reste plus qu'à résoudre l'équation (après l'avoir mise sous la forme traditionnelle)

Cordialement

[foudefoot]

Donc:
DC²=AD²+2x²-x+BC²
On peut écrire sous forme traditionnelle:
2x²-x+AD²+BC²-DC²=0 soit 2x²-x+64+9-125=0
donc:
2x²-x-52=0
Est-ce que cette réponse est la bonne?

[invite51d17075]

non c'est faux, de partout d'ailleurs , refais ton calcul à partir de

125 = 64+x²+100-2ABx+x²+9

qui était juste ( et on connaît AB )

[foudefoot]

Oui, merci Ansset, j'ai oublié AB², donc je reprends:
CD² = AD²+x²+AB²-x+x²+BC²
CD²=2x²-x+AD²+AB²+BC²
2x²-x+AD²+AB²+BC²-CD² = 0
2x²-x+64+100+9-125 = 0
2x²-x+48=0
Est-ce ce coup-ci c'est exacte?

[invite51d17075]

pourquoi le -2ABx du mess précédent est devenu -x ici ?

[foudefoot]

CD²= AD²+x²+AB²-2x+x²+BC²
CD²= 2x²-2x+AD²+AB²+BC²
2x²-2x+AD²+AB²+BC²-CD²= 0
2x²-2x+64+100+9-125=0
2x²-2x+48=0
Je pense n'avoir rien oublié cette fois.

[invite51d17075]

AB=10 donc -2ABx=-20x !!!!!

[gg0]

Voilà ce que c'est de ne pas vouloir écrire (10-x)².

[invite51d17075]

mais pourtant le post #18 était bon ( sauf le coté incongru d'avoir laisser AB , que l'on connaît )

[foudefoot]

La bonne solution est donc:
2x²-20x+48=0
Merci pour votre aide et vôtre patience.

[invite51d17075]

Ouf !
équation que tu peux diviser par 2, pour la simplifier.
la résolution est facile, suffit d'appliquer le cours.

[foudefoot]

Résoudre une équation du second degré ne me pose pas de problème. C'était surtout mettre tout ça sous forme d'équation et manipuler tous ces termes, 28 ans après avoir quitter l'école j'avoue que c'est compliqué de s'y remettre.
Merci pour votre aide.