Équation

[henryallen]

Bonsoir,

Je suis récemment tombé dans un livre sur cet exercice:
Résoudre dans l'équation . J'ai trouvé deux solutions, qui sont 40 et -40. Cependant, ma méthode de résolution était assez longue, et je me demandais s'il était possible de trouver une méthode qui serait plus rapide. Voici ce que j'ai fait:

J'ai posé et (avec bien sûr et u et v positifs). Ainsi l'équation de départ est équivalente à: . On a de plus .

A partir de là, j'ai montré qu'on a , en développant la puissance 4 puis en utilisant les valeurs mentionnées ci-dessus. J'en ai donc déduit qu'on a ou . J'ai alors pu créer deux systèmes de deux équations à deux inconnues (u et v) en utilisant la valeur de la somme de u et de v et la valeur de leur produit (les deux valeurs mentionnées précédemment). Or u et v sont les racines du polynôme . L'un des polynômes obtenus (avec une valeur de uv) n'avait aucune racine réelle, et l'autre en avait deux, qui étaient 1 et 3. Donc on avait à ce moment-là ou , les rôles de u et v étant symétriques dans le système. Et finalement, pour chaque valeur du couple (u, v) j'en ai déduit une valeur de x, et j'en suis arrivé à l'ensemble solution: .

Et donc comme je le disais au début du post, avec cette méthode j'ai dû écrire un certain nombre de lignes sur ma feuille, ce qui en soi n'est pas un problème bien sûr, mais j'en viens tout de même à me demander s'il est possible de résoudre cette équation de manière plus succinte (à supposer que je l'aie en effet résolue ...).

Merci d'avance pour d'éventuelles réponses.
Bonne soirée





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[Ragnis]

Bonjour,

(41+x) + (41-x) est de la forme ?

(a+b) * (a-b) = ?

ensuite tu aura le tout puissance 1/4.

Et à toi de jouer pour la suite !

En quelques lignes tu auras trouvé le même résultat
Toujours faire attention aux formules d'identités ! Il y a toujours des simplifications possibles généralement.

Essaye de faire le calcul, si tu n'y arrives pas dis le moi je te détaillerai ça ! Mais je pense que tu es capable de faire ça en 2min si tu as réussi la version que tu as écrite !
La méthode que tu as utilisé est une méthode générale s'il n'y a aucune simplification possible.

Cordialement.

[ansset]

je n'ai pas bien saisi la manip de Ragnis.
j'aurai écrit
U²+V²=82 avec U=u² et V=v².
donc 82 est la somme de deux carrés dont les seuls couples possibles sont 1 et 9 , d'où les 2 résultats.

[Ragnis]

je n'ai pas bien saisi la manip de Ragnis.
j'aurai écrit
U²+V²=82 avec U=u² et V=v².
donc 82 est la somme de deux carrés dont les seuls couples possibles sont 1 et 9 , d'où les 2 résultats.

Je n'ai pas du tout suivi son raisonnement à lui mais je lui ais montré une méthode beaucoup plus rapide via simplification d'écriture. En utilisant une identité remarquable puisque son équation est du type (a+b)*(a-b).
Après je n'ai pas écrit de détails pour voir s'il peut le faire par lui-même, mais s'il ne comprend pas je lui noterai les détail (en 5 lignes, en détaillant, c'est résolu).

BCdt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... Ansset, tu sembles oublier que l'on travaille dans R, et qu'il y a donc une infinité de réels U et V dont les carrés ont pour somme 82. par exemple et .

Cordialement.

[ansset]

oups, pas vu ! je lis tj trop vite les énoncés.

[gg0]

Ragnis,

quelle équation est "est du type (a+b)*(a-b)" ? L'équation du départ est une somme de deux racines quatrièmes, pas un produit.

Cordialement.

[ansset]

ça par contre est bien ce que je n'ai pas du tout saisi.
mais il doit être possible de faire plus court que henry.

[ansset]

evt ceci.
l'étude de la fct ( membre de gauche ) montre facilement qu'elle est strict croissante sur [-41;0[ atteint son maximum en x =0 puis est forcement symétrique sur les x>0
les minima en x=+/-1 40 sont proches de 3
il y a donc exactement 2 solutions = +/- x0
ensuite on pose y=41-x
y^1/4+(82-y)^1/4=4 soit
(82-y)^1/4=4-y^1/4
et là je triche un peu en "voyant" que y=1 est solution "évidente".

bon, pas terrible quand même. pas très analytique tout ça.

[ansset]

d'abord désolé de ce triple post,
j'ai relu ta démo.
elle me semble très bien !
en synthétisant tes commentaires et équations, elle n'est en fait pas si longue. ( une dizaine de lignes )
bravo

[henryallen]

Bonsoir,

Merci pour vos réponses et commentaires Je n’avais pas pensé à faire une étude de fonction en effet ! Après oui c’est possible qu’en réalité j’aie un peu trop développé mes explications, mais pas forcément dans le bon sens, au point de surcharger la réponse. J’essaierai de synthétiser ça !

Bonne soirée et merci encore.