Exercice Suites Terminale

[invite9a4284a3]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance !

On définit la suite (Un) par U0 = 13 et pour tout entier naturel n: Un+1= 1/5Un+ 4/5

1. . Montrer que la suite (Vn) définie sur ? par (Vn) = Un − 1 est géométrique de raison 1/5

v_n= u_n-1

v_n+1= u_n+1-1

= (1/5)u_n+(4/5)-1

= (1/5)u_n- (1/5)

= (1/5)*( u_n- (1/5)/(1/5))

= (1/5)(u_n-1) => on retrouve l'expression de v_n

donc v_n est une suite géométrique de raison (1/5)v_n

2. En déduire l'expression de Un en fonction de n. Quelle est la limite de la suite Un ? Justifier.

comme q<1 la limite de 12*1/5^n=0 la limite est égale à 1



3. On donne la suite Sn= U0 + U1 +...+Un - n - 1
a- déterminer le sens de variation de la suite (Sn)

Sn+1-Sn = Un+1-(n+1)-1+n+1
= Un+1 -1
=Vn+1

Après je suis perdue..

b.Calculer Sn en fonction de n

...
c.Déterminer la limite de la suite (Sn)

...



MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE !!
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[invite51d17075]

bjr,
tu ne peux pas faire totalement l'exercice 3) si tu n'as pas l'expression de Un en fct de n, ce qui t'est demandé auparavant et que tu as "oublié".
par contre tu connais le signe de Vn , donc pas de problème pour le sens de variation de Sn.

[invite9a4284a3]

Bonjour,
Ah oui pardon j'ai oublié de le noter, j'ai trouvé : Un = 12*(1/5)^n +1
Je peux justifier en disant que Vn+1 > 0 donc Sn >0 ? Cela suffit ?

Merci

[invitec12bce47]

Bonjour,
De Vn+1 > 0 tu déduis plutôt que Sn+1 - Sn > 0 et tu as donc le sens de variation

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a4284a3]

ah oui c'est vrai merci et donc je conclue que Sn est strictement croissante sur N c'est bien juste ?
merci

[invitec12bce47]

Oui.
Pour la b) il te suffit d'utiliser la relation entre Vn et Un.

[invite9a4284a3]

Merci !
On remplace les Un par Vn donc par 12*(1/5)^n ?
Je ne vois pas trop comment exprimer Sn en fonction de n avec ça

[invitec12bce47]

A partir de Vn = Un -1 tu peux exprimer une relation entre U0 + ... + Un et V0 + ... + Vn

[invite9a4284a3]

Avec ce que j'ai dis juste au dessus ?

[invite51d17075]

Bonjour,
Ah oui pardon j'ai oublié de le noter, j'ai trouvé : Un = 12*(1/5)^n +1

donc , tu peux faire : (somme des Un)-(n+1).
ps : comme il y a n+1 termes et que Vn=Un-1, tu retrouves la somme des Vn !

edit: croisement, je te laisse pour ne pas "confusionner".

[invite9a4284a3]

D'accord merci !

[invite9a4284a3]

Il faut donc calculer la somme de S(n) quand on nous demande de calculer Sn en fonction de n ?

[invite51d17075]

Non, on demande de calculer S(n) qui est une somme elle même.

[invite9a4284a3]

Il faut donc remplacer ? je ne comprends pas...

[invite51d17075]

m'enfin ( une manière de faire )
S(n)=U0+U1+U2+...+Un-(n+1)
S(n)=(U0-1)+(U1-1)+(U2-1)+...+(Un-n) ( car il y a n+1 termes )
S(n)=V0+V1+V2+....+Vn
et Vn=12(1/5)^n
à toi de finir.

[gg0]

Lire "S(n)=(U0-1)+(U1-1)+(U2-1)+...+(Un-1)"

[invite51d17075]

merci d'avoir corriger la faute de frappe!!!

[invite9a4284a3]

Comme q<1,

j'obtiens donc Sn = v0 * (1-1/5^n)/(1-1/5)
= 12 * (1-1/5^n)/(1-1/5)

Après je ne sais pas comment finir..

[invite51d17075]

Comme q<1,

j'obtiens donc Sn = v0 * (1-1/5^n)/(1-1/5)
= 12 * (1-1/5^n)/(1-1/5)

Après je ne sais pas comment finir..

en simplifiant V0/(1-1/5).
je n'ose le faire à ta place. ( niveau collège )

[invite9a4284a3]

En fait je suis déstabilisé par le^n sinon j'aurais simplifier par 1/5..

[invite51d17075]

tu vas avoir honte , mais je le fais quand même !
12/(1-1/5) = 12/(4/5) = 12*5/4=3*5=15

[invite9a4284a3]

Mais où est passé le n ?

[invite51d17075]

j'ai simplement simplifié ( comme tu aurais du le voir) le coeff multiplicateur de la parenthèse.
donc
Sn=15(1-(1/5)^n)
ce qui donne la limite de Sn.