Périodicité d'une fonction

[invitee8d70b7e]

Bonjour, je bloque sur cette question prouver que f(x)=(1-2x)/x^2 n'est pas périodique quelqu'un pourrait m'aider svp ?
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[invitedd63ac7a]

Soit T l'éventuelle période, si la fonction est périodique on doit avoir:
Pour tout x de IR* f(x+T)=f(x),
Qu'est-ce que cela impliquerait sur l'ensemble de définition de f, puisque f est dérivable continue sur IR*?

[gg0]

Bonjour.

Il est parfois difficile de prouver qu'une fonction est périodique, mais généralement très pénible de prouver qu'une fonction n'est pas périodique. Aussi, comme ça ne sert généralement pas, on ne le fait pas.
Il te faudrait prouver que quel que soit le réel strictement positif T, il existe à chaque fois au moins un réel x tel que f(x+T) f(x).
Tu as vraiment besoin de ça ?
Rappel : dans les études de fonctions, on note (et on prouve) quand les fonctions sont paires, ou impaires, ou périodiques, car ça simplifie l'étude. mais on ne perd pas de temps à justifier qu'une fonction n'est pas paire. La quasi totalité des fonctions ne sont ni paires, ni impaires, ni périodiques.

Cordialement.

[jacknicklaus]

Il te faudrait prouver que quel que soit le réel strictement positif T, il existe à chaque fois au moins un réel x tel que f(x+T) f(x)..

Dans le cas qui nous occupe, c'est le cas avec x = 1/2, quelque soit T.

f(1/2) = 0 et f(1/2 + T) = 0 implique T = 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement, dans chaque cas particulier on peut trouver une méthode particulière. Mais est-ce du niveau lycée ?

Ici, il y a d'ailleurs plus simple (*), puisque le domaine n'est pas périodique (comme le dit Eudea-panjcline).

Cordialement.

(*) prendre x=-T.