trouver des applications

[invited1fd499a]

f : R ----> R et k appartient a R.
trouver toutes les applications f telles que :
pour tout (x,y) dans R^2 : f(f(x)+f(y)+kxy)=xf(y)+yf(x)
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[jacknicklaus]

BONJOUR

relire https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html


MERCI

[invited1fd499a]

j'ai essayé avec x=y=0 ce qui donne f(2f(0))=0 ensuite j'ai essayé x=0 et y=2f(0) pour avoir f(f(0))=2f(0)^2 j'ai alors essaye d'autre choses mais ca ne mène nulle part

[invitedd63ac7a]

Quel est l'origine de cette exercice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1fd499a]

un livre d'exo de maths appelé l archipel des maths

[invitedd63ac7a]

Apparemment l'exercice n'est pas simple, au moins pour moi !
Êtes vous certain de l'énoncé ?
Dans quel contexte est-il donné ? Géométrie, analyse, etc

[invited1fd499a]

ouis j en suis certain c est une lecon sur les application IMG_20181105_132316.jpg

[invitedd63ac7a]

Merci pour la photo!

[epiKx]

Pas simple cet exercice en effet, ou alors quelque chose m'échappe...
Dans le cas où :
1- que vaut ?
2- en déduire la valeur de pour tout
3- On suppose qu'il existe tel que:
Aboutir à une contradiction et conclure.

Dans la suite, j'ai distingué le cas où de celui où mais n'ai pas réussi à conclure. J'ai néanmoins l'intuition que seule la fonction nulle est solution (triviale) de l'équation.

En espérant t'avoir aidé,

epiKx.

[invitedd63ac7a]

Pas simple cet exercice en effet, ou alors quelque chose m'échappe...

Je confirme.
D'accord avec toi pour le cas k=0.
Pour on montre que f est bijective, en récrivant l'équation fonctionnelle pour , je trouve (á vérifier) une solution affine dans un cas déterminé, mais je ne sais pas montrer si il y en a d'autres ou non.
Pour f(0)=0 je ne vois rien...

Je n'ai pas réussi non plus a montrer quelques régularités de la fonction en 0 ou ailleurs.

[invite9dc7b526]

puisque la relation doit être vérifiée pour tout couple (x,y) elle doit l'être en particulier pour tout x si y=0, ce qui donne l'équation f(f(x)+c)=cx (où j'ai posé pour simplifier la notation f(0)=c ). Ce qui est amusant c'est que cette équation ressemble à celle que vérifie une involution, si c=0 à gauche et c=1 à droite. La fonction identiquement nulle convient et je me demande si en raisonnant sur les valeurs possibles de c (c<0, c>1, etc) on ne peut pas arriver à montrer que c'est la seule. Mais je ne trouve rien de concluant.

[invitedd63ac7a]

Pour on montre que f est une bijection.

On note g la bijection réciproque de f, l'équation fonctionnelle de f devient:
x+y+kg(x)g(y)=g[g(x)y+g(y)x] pour tout x,y de IR.
Donc on a g(0)=2f(0).

On arrive assez facilement à:
y+k2f(0)g(y)=g[2f(0)y] pout tout y de IR
On pose 2f(0)=a, qui est différent de 0.

On montre alors que ak=1 et on a:
pour tout y de IR: y+g(y)=g[ay] qui prouve que a doit être différent de 1.

Si on cherche une solution affine on trouve:
g(y)=-2y+1/2.
On vérifie que cette fonction vérifie l'équation fonctionnelle de g.
Y a-t-il d'autre solutions, je ne sais pas, à priori, ni f ni g ne sont contraints par quelque régularité.

[invite51d17075]

Y a-t-il d'autre solutions, je ne sais pas, à priori, ni f ni g ne sont contraints par quelque régularité.

à partir de f(f(x)+f(0))=xf(0) pour tout x ,on doit pouvoir montrer la continuité de f.
par contre, j'ai mal saisi comment tu montrais la bijectivité, c'est ce qui me bloquait.

[invite9dc7b526]

Si on cherche une solution affine on trouve:
g(y)=-2y+1/2.

la réciproque est f(x)=x/2-1/4 qui ne vérifie pas l'équation de départ, sauf erreur de ma part.

[invited1fd499a]

pour 3- il n'est pas nécessaire de faire une démonstration par l absurde, il suffit de prendre x=x et y=f(x)
ce qui donne f(f(x)+f(f(x)))=xf(f(x))+f(x)× f(x)
implique f(f(x))=f(x)^2 et donc pour tout x, f(x)=0

[invitedd63ac7a]

la réciproque est f(x)=x/2-1/4 qui ne vérifie pas l'équation de départ, sauf erreur de ma part.

Quand on recherche une application affine solution on trouve que nécessairement a=1/2 et k=2. Je ne pense pas qu'il y en ait d'autres.

à partir de f(f(x)+f(0))=xf(0) pour tout x ,on doit pouvoir montrer la continuité de f.

oui, mais comment ?
Pour l'injectivité on utilise f(f(x)+f(0))=xf(0) pour tout x et on suppose f(0) non nul.

[invite51d17075]

la réciproque est f(x)=x/2-1/4 qui ne vérifie pas l'équation de départ, sauf erreur de ma part.

eudea a fait une erreur de signe, il me semble.
je trouve f(x)=-x/2+1/4 qui vérifie la formule globale. ( k=2)

ps: pas compris le post #15 d'identifiant.

[invited1fd499a]

je m'excuse c'etait une réponse au post#9

[invite51d17075]

pas de soucis, mais une question:
il s'agit de la 4ème question d'un exercice.
dans les questions précédentes ( qui étaient probablement plus ou moins liées ), est il fait mention de la supposé continuité et/ou dérivabilité de fonction de ce type.?

[invited1fd499a]

a ce niveau on ne sait pas ce que sont la dérivabilité et la continuité

[invite51d17075]

Dans ce cas, il me semble que la seule réponse soit :
- la fonction nulle f(x)=0
- la fonction affine mentionnée par Eudea ( au signe prêt corrigé )

[invite51d17075]

avant de confirmer mes dires, quelles types de fonction as tu étudié ?

[invited1fd499a]

pas grand chose on venait d etudier les fonctions numériques l'année dernière et on vient de faire les applications cependant je ne vois pas ce qu on peux faire si f(0)=0 et k différent de 0

[invite51d17075]

pas grand chose on venait d etudier les fonctions numériques l'année dernière et on vient de faire les applications cependant je ne vois pas ce qu on peux faire si f(0)=0 et k différent de 0

????
une des solutions est que la fonction soit nulle partout donc aussi en 0
et cela est indépendant de k. car
f(f(x)+f(y)+kxy)=f(0+0+kxy)=f( kxy)=0 par définition de la fonction ( nulle partout )
et ceci est égal à xf(y)+yf(x)=x*0+y*0=0
l'autre solution est
f(x)=-x/2+1/4 ( qui correspond à k=2 et f(0)=1/4 )

[invited1fd499a]

pour trouver l autre solution il a fallut supposer que f(0) est different de 0 c'est fe là qu est venue la bijectivité
et comment peut on être certain qu il n y en a pas d autres

[invite51d17075]

s'il en existe d'autres, elles sont très certainement bien complexes et largement au dessus du niveau scolaire auquel tu dois être.

[invited1fd499a]

mais l'exercice nous demande de trouver toutes les fonction, on devrait être capable de les trouver à ce niveau

[invite51d17075]

mais l'exercice nous demande de trouver toutes les fonction, on devrait être capable de les trouver à ce niveau

bjr,
en quelle classe es tu ?
remarque non péjorative mais pour resituer le pb dans son contexte.
car tu dis juste auparavant avoir "étudié les fct numériques" ; je ne sais pas ce que cela veut dire.

[invitedd63ac7a]

eudea a fait une erreur de signe, il me semble.
je trouve f(x)=-x/2+1/4 qui vérifie la formule globale. ( k=2)

Merci Ansset

mais l'exercice nous demande de trouver toutes les fonction, on devrait être capable de les trouver à ce niveau

Si f(0) est non nul et en reprenant mes notations du message #12, on a :
y+k2f(0)g(y)=g[2f(0)y] pout tout y de IR
Cette relation, avec quelques calculs, prouve nécessairement que la solution est d'une forme affine, qu'on précise avec l'équation fonctionnelle de g. Ce qui montre l'unicité de g dans ce cas.

Pour le cas f(0)=0 je sèche...

[invite51d17075]

Pour le cas f(0)=0 je sèche...

dans ce cas on a:
f(f(x))=0 pour tout x.( f(f(x)+f(0))=xf(0))
donc f(y)=0 pour tout f(x)
je ne vois pas comment échapper à la fonction nulle.