a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

invitef6a0ac52 · 07/11/2018, 15h57

Bonjour,
soit a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que:

a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2

**skeptikos** · 07/11/2018, 16h58

Bonsoir,
As-tu au moins essayé de mettre au même dénominateur pour voir ce que cela donnait.
@+

invitef6a0ac52 · 07/11/2018, 17h28

ouii, déjà fait. j'ai trouvé 3abc+P(a²+b²+c²) /(a+b)(c+b)(a+c) tel que p est le périmètre du triangle

**jacknicklaus** · 07/11/2018, 18h52

sans restriction de la généralité, tu supposes que c est le grand côté.
tu montres alors séparément que

c/(a+b) <= 1
a/(b+c) +b/(a+c) < 1

Monsieur Al Kashi sera utile.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitef6a0ac52 · 07/11/2018, 21h35

je crois que c/(a+b) est toujours inf a 1 car il n'y a pas un triangle avec c=a+b xD

pour a/(b+c)+b/(a+c): après development et l'utilisation de la formule de mr al kashi j'ai trouvé (c²+2ab cos theta+bc)/(ab+ca+bc+c²)<1

donc numérateur moins dénominateur doit être inf a 0

ca me donne : ab[2cos (theta)-1]-ca <0
donc 2cos theta -1 doit être inf a 1 ==> cos theta < 1 ce qu'est vrai

j’espère que c'est ca la bonne réponse

invitef6a0ac52 · 07/11/2018, 21h48

je crois que j'ai raté qlq chose dans les dernières lignes .

on a ca > ab car on'a déjà supposer que c et le plus long. 0< theta < 180 ==> -1< cos theta < 1 ==> -2 < 2 cos theta < 2 ==> -3 <2 cos theta -1 < 1

donc ab[2cos theta -]-ca <0 est toujours vrai

**fartassette** · 07/11/2018, 22h25

Salut

Laissons Al Kashi de côté pour le moment, bien que ce monsieur a marqué l'histoire

Je vais te proposer quelques chose de complètement différent car cette inégalité est trop bien, d'ou sa sort? Déja il s'agit de longueur de triangle,donc tout est positif. Chaque fraction est majoré par une expression obtenue grâce à l'inégalité du triangle (triangulaire) .

soit:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

L'idée vient du triangle enfin de ces longueurs: exemple $\text{[math]}$

Donc par somme

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

**jacknicklaus** · 07/11/2018, 22h33

joli !

invitef6a0ac52 · 07/11/2018, 23h10

fartassette...vraiment chapeau !!!
mais est ce qu'il y a un triangle EFG avec EG= EF+FG ??? xD

invite51d17075 · 08/11/2018, 00h27

ici E,F et G représente les sommets de ton triangle
donc les distances EF,EG,FG correspondent à tes longueur a, b et c.
hors, la longueur d'un coté est forcement inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
donc , par exemple pour la première inégalité
b+c > a d'où
(b+c)+(b+c) > a+b+c , et quand on prend les inverses
1/((b+c)+(b+c))< 1/(a+b+c)
d'où l'inégalité.

invite51d17075 · 08/11/2018, 00h29

Envoyé par elbasrouisama

fartassette...vraiment chapeau !!!
mais est ce qu'il y a un triangle EFG avec EG= EF+FG ??? xD

le seul cas ou il y a égalité est pour un triangle plat ou EG est un "grand coté" et F entre les deux.

**fartassette** · 08/11/2018, 00h41

Attention, Non .mess $9

$\text{[math]}$ En d'autres termes, $\text{[math]}$ est un point de $\text{[math]}$ , cela se traduit par un alignement des 3 points.

En revanche si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ donc aucun alignement possible, on pourra aisément construire un triangle.

On peut résumer ces propriétés de la façon suivante : Quelques soient les points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

La relation est appelée inégalité triangulaire

invite51d17075 · 08/11/2018, 00h46

ben, c'est ce je dis : triangle plat ( dégénéré )

invitef6a0ac52 · 08/11/2018, 00h49

Merci pour vos réponses. Mais je n'ai pas compris l'inégalité que ansset a trouvé

**fartassette** · 08/11/2018, 00h50

Salut ansset

j' ai vu tes messages seulement après l'envoi

je répondais au post #9

bonne nuit,

invite51d17075 · 08/11/2018, 00h54

Envoyé par elbasrouisama

Merci pour vos réponses. Mais je n'ai pas compris l'inégalité que ansset a trouvé

j'ai juste expliqué ( en détail ) ce que farfassette avais "pondu" comme solution élégante.
c'est la même chose, alors je ne comprend pas pourquoi tu dis bravo à sa démo alors que visiblement tu ne la comprend pas !
cordialement.

invitef6a0ac52 · 08/11/2018, 00h55

Okkk merci!!!��

**skeptikos** · 09/11/2018, 14h39

bonjour,
jolie effectivement la démonstration de fartassette. J'ai apprécié.
@+

a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

Re : a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < 2 pour un triangle

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