Intégrale d'une fonction et aire sous la courbe

[Ny21]

Je sais que l'intégrale d'une fonction correspond à l'aire sous sa courbe.

Mais comment cela se démontre pour toute les fonction ?

Merci d'avance.
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[albanxiii]

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2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[gg0]

Bonjour.

Au dix-septième siècle, avec des notions plutôt intuitives de la notion d'aire, l'intégrale est apparue très naturellement comme résolvant le "problème des aires", et on s'est aperçu que le "problème des tangentes" en était l'inverse. Mais on n'utilisait que des courbes très lisses. Quand on a étendu la notion de fonction, au dix-neuvième siècle, la notion d'aire est devenue assez délicate, et maintenant, c'est plutôt l'intégrale (quand elle est définie) qui définit "l'aire sous la courbe". Donc ça ne se démontre pas "pour toutes les fonctions". Et aussi, il y a plusieurs notions d'intégrales, qui se correspondent pour des fonctions simples définies sur un intervalle fermé borné, mais qui divergent pour des fonctions très générales (certaines ont une intégrale d'un type, pas d'un autre).

Du dix-septième siècle reste une preuve simple sur l'aire située sous la courbe d'une fonction continue (*) f positive pour les abscisses situées entre a et b. En prenant la partie de cette aire comprenant seulement les abscisses situées entre a et x, on définit une fonction "aire" F(x), et en appliquant la définition de la dérivée (et la continuité) on voit que F est une primitive de f.
Gros problème cependant : on ne sait pas calculer des primitives pour la plupart des fonctions, même aussi simples que sin(x)/x.

Pour plus de renseignement, étudier un livre de calcul intégral.

Cordialement.

(*) au dix-septième siècle, on n'envisageait que des fonctions continues.