Terme général d'une suite arithmético-géométrique

[Ariri]

Bonjour à tous !

Je vous expose une tentative de démonstration :

(Un)∀n∈ℕ
Un+1=xUn+y
U₄=(x(x(x(xUn+y)+y)+y)+y)
⇔(x(x(x²Un+yx+y)+y)+y)
⇔(x(x³Un+x²y+xy+y)+y)
⇔(x(x(x(xUn+y)+y)+y)+y)
⇔x⁴Un+x³y+x²y+xy+y

A partir de ça on peut en déduire que le terme général d'une suite arithmético-géométrique (Un) est xⁿUn+xⁿ^-1y+x^n-2y...+y
Tout d'abord je voulais savoir si ce que j'ai écrit est juste et puis savoir comment je peux rendre cette démonstration plus rigoureuse.

Merci de votre lecture, Ariri !
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[jacknicklaus]

(Un) est xⁿUn+xⁿ^-1y+x^n-2y...+y
Tout d'abord je voulais savoir si ce que j'ai écrit est juste et puis savoir comment je peux rendre cette démonstration plus rigoureuse.

- le relation donnée est fausse, erreur d'inattention, il faut écrire Un = xⁿU0+xⁿ^-1y+x^n-2y...+y
- pour le démontrer, c'est assez immédiat avec une démo par récurrence
- tu peux simplifier xⁿ^-1y+x^n-2y...+y en factorisant y et en reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique.

[Ariri]

Merci pour ta réponse rapide !
Effectivement grosse erreur, j'avais pas vu.
Une démonstration par récurrence ? Qu'est-ce ?

[gg0]

Bonjour.

On sait faire bien plus simple (j'y viendrai après). Mais ce que tu écris n'a pas de sens avec le U_n pour calculer U₄. On ne sait pas qui est n. Il y a d'ailleurs une parenthèse de trop (autour de tout le reste, ça ne sert à rien) et des symboles ⇔ là où il devrait y avoir des =.
En supposant que tu as écrit U_n alors que c'était U₀, on obtient un résultat juste, mais sans aucun intérêt (c'est plus simple d'utiliser directement la formule).
Donc :
* un bel effort pour trouver seul quelque chose
* une rédaction mal foutue
* et tout ça pour pas grand chose.

On peut trouver une formule très simple, assez facilement :
* si x=0, c'est une suite arithmétique. on sait faire
* si y=0, c'est une suite géométrique, on sait faire
* supposons désormais x et y non nuls. On pose U_n=V_n+ a, et on choisira a pour que V soit une suite géométrique. En exprimant V_n+1 en fonction de V_n, on voit qu'il n'y a qu'une seule valeur possible pour a, on la choisit, puis on calcule V₀ puis V_n, et enfin U_n.
Puisque le problème t'intéresse, je te propose de faire les calculs (attention à leur écriture).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ariri]

Un=Vn+a mais Un est de quelle forme ici ? Si elle est géométrique (xU0+y) alors a=-y non ? Mais j'me dis qu'on ne connais pas Un puisque c'est justement ce que je cherche, je me trompe ?

[gg0]

Heu ... c'est bien toi qui as parlé de Un, non ???
Et c'est Vn qui est géométrique (en choisissant bien la valeur de a).

[Ariri]

L'idée c'était de trouver l'expression de Un pour Un+1=xUn+y. J'me demande si on est sur la même idée parce que j'vois pas du tout comment trouver a pour Un=Vn+a en sachant qu'on cherche Un justement. Peut-être ai-je loupé quelque chose..

[gg0]

Je te donne un exemple numérique (*) :
avec
Je pose
(1) donc (2)


ce qui donne

V sera une suite géométrique si . Donc on prend ; et V est alors une suite géométrique de raison 3.
(2) donc et
On conclut alors de (1) que


Cordialement.

(*) tout est expliqué, je te laisse faire le cas général, s'il t'intéresse.

[Ariri]

Merci c'est exactement ce qu'il me fallait j'ai donc repris tout ton raisonnement :
Un+1=xUn+y
Un=Vn+a donc Vn=Un-a
Un+1=Vn+1+a=xUn+y=x(Vn+a)+y
Donc
Vn+1=x(Vn+a)+y-a=xVn+xa+y-a (petite question ici, puis-je écrire que xa-a=(x-1)a ?)
Donc V sera géométrique si :
xa+y-a=0
ax-a=-y
(x-1)a=-y
a=-y/(x-1)
Donc V est une suite géométrique de raison x
Vn=Un-y/(x-1)
Donc V0=U0+y/(x-1)
Et Vn=V0(x)ⁿ=(U0+y/(x-1))(x)ⁿ (dans ton exemple, d'où sort l'exposant n ?)
Comme Un=Vn+a
Un=(U0+y/(x-1))(x)ⁿ-y/(x-1)
Est-ce juste ? Merci !

[ansset]

je répond car gg0 est parti :
-bien sur que tu peux écrire xa-a=(x-1)a ( simple factorisation )
-l'exposant n dans la formulation de Vn vient simplement du fait que Vn est une suite géométrique de raison x
donc ( cours ) Vn=(xⁿ)V₀

[Ariri]

J'avais un doute, merci !
Effectivement c'était évident. Le résultat final est donc juste ?

[ansset]

oui, mais pourquoi en douter !
peur d'une faute de frappe/erreur de calcul ?

ps: on a un (x-1) au dénominateur, ce qui pourrait faire douter, mais x=1 correspond en fat à une suite purement arithmétique, donc il est normal que ce calcul ne puisse pas se faire dans ce cas.

[Ariri]

Plus une erreur de calcul, on ne sait jamais !
D'accord, et bien merci beaucoup à vous tous pour votre aide et votre patience !

[gg0]

Si tu es lycéen, c'est un excellent travail. Continue dans cette voie.

Cordialement.

[Ariri]

Oui je suis en première, merci je reviendrais vers vous la prochaine fois !