Base de numération

[Matlabo]

Salut

J'ai une question: On a cette égalité:



Je pense que vous la connaissez, Donc pourquoi l'écriture du nombre n en base B est a_na_n-1.....a₀.

Thanks.
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[jiherve]

bonsoir,
ce sont les coefficients multiplicatif des puissances de la base ex en base 10:
2020 = 2*10^3+0*10^2+2*10^1+0*10^0
JR

[gg0]

L'écriture de n en base B n'est celle-ci que si tous les sont des entiers compris entre 0 et B-1.
Dans ce cas, il n'y a rien à prouver, c'est la définition de l'écriture de n en base B.

Cordialement

[Matlabo]

Oui mais pourquoi si on réussi à écrire n de cette manière et ben l'écriture du nombre n en base B est a_na_n-1.....a₀


P.S: pas vu la 2 ème réponse (je viens de modifier )

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Oui mais pourquoi si on réussi à écrire n de cette manière et ben l'écriture du nombre n en base B est a_na_n-1.....a₀

C'est la définition. On écrit ainsi parce que c'est concis. Tu écris 105 et on sait que c'est 1 x 10^2 + 0 x 10^1 + 5 x 10^0.

[Matlabo]

D'accord, Oui mais quand même,

[Matlabo]

.. Parceque si on avait pas cette règle, par ex pour écrire 6 en binaire on aurait pu commencer le calcul de 0 parceque en binaire on aura 0 puis 1 puis 10 puis 11 puis 100 puis 101 puis 110 et enfin 111(soit 6), et on remarque bien que y a une relation sur la manière dont les chiffres en binaire se suivent et que c'est pas aléatoire, et c'est certainement le cas pour les autres bases donc je me suis dis que pour donner cette définition ils ont utilisé ce que je décris en haut.....

S'est pas si je me suis fait comprendre...

[gg0]

Quoi, quand même ??

On dirait que tu n'as pas appris à écrire les nombres en base dix à l'école primaire 125 : une centaine, deux dizaines et cinq unités.
On fait la même chose en base B. par exemple en base 8 : 125 c'est une soixantequatraine + deux huitaines plus cinq unités.

Au lieu de t'exclamer, tu devrais être admiratif de cette généralisation.

[gg0]

Suite au message #7 :
Et donc pour écrire 1025 en binaire, tu vas écrire d'abord les 1024 précédents ? Alors que la règle précédente donne immédiatement l'écriture 10000000001.

[Matlabo]

Oui oui ne vous inquiétez pas je suis admiratif...,
Justement je me demande comment cela se fait-il que cette généralisation décrivent la manière dont les nombres se suivent dans n'importe quelle base n..

[jacknicklaus]

ton raisonnement est circulaire. Comme déjà dit, c'est juste une notation, moins lourde que d'énumérer tous les Bⁿ.

et bien sûr qu'il y a une relation entre la base et l'écriture d'une énumération. En base 5, tu as 1 2 3 4 10 11 12 13 14 ...etc. La transition 4 -> 10 est simplement l'application de la définition de la base, je ne vois vraiment pas pourquoi tu te fais un noeud au cerveau?

[Amanuensis]

Oui oui ne vous inquiétez pas je suis admiratif...,
Justement je me demande comment cela se fait-il que cette généralisation décrivent la manière dont les nombres se suivent dans n'importe quelle base n..

Prenez l'écriture a_na_n-1.....a₀, que vous avez donnée. Ajoutez 1, que ce passe-t-il?

Si a₀ est plus petit que B-1, cela va donner la même écriture avec a₀ + 1 à la place de a₀, d'accord ?

Mais si a₀ est égal à B-1, alors on ne peut pas changer pour a₀ + 1 ; alors on change pour 0, ce qui revient à ôter B-1. Il faut donc ajouter B-1+1 (la retenue!) et donc ajouter 1 à a₁, et on applique le même algorithme...

Bref, le principe de la retenue est le même dans toutes les bases, et donc la manière dont se suivent les nombres suit la même logique.

Note: on remarquera que la contrainte indiquée message #3, à savoir "tous les sont des entiers compris entre 0 et B-1", a joué dans l'algorithme.

Voilà, en espérant que j'ai bien vu pourquoi vous vous faites un "noeud au cerveau".

[Matlabo]

J'en suis pas sur à 100% mais je pense avoir compris ce que vous me dites, mais je reste perplexe certainement parceque j'ai du mal à défaire ce nœud

[gg0]

En fait, la succession des nombres, que tu as apprise tout petit est simplement l'application de cette définition : Pourquoi écris-tu 10 après 9 (pourquoi représenter ainsi dix, le successeur de neuf) ? Pourquoi écris-tu 11 après 10 ? Etc.
Tu as pris des habitudes que tu ne remets pas en cause alors qu'on revient sur leurs raisons. De ce fait, tu vois un mystère là où il n'y a qu'éclaircissement.

Cordialement.