Exercice sur les suites et les limites

[Lachimiecphysique]

Bonjour, je souhaiterai avoir de l’aide pour l’exercice suivant :

La suite (U_n) est définie pour tout entier naturel n non nul, par U_n= 1/n(n+1)

1) a) Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
U_n+1-U_n= -2/n(n+1)(n+2)

b) Déterminer le sens de variations de U_n

c) À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite éventuelle de U_n

2) Pout tout entier tel que p est supérieur ou égal à 1, on a:

S_p=U₁+U₂+U₃+U₄+.... +U_p

a) Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 que U_n=1/n - 1/n+1

b) Montrer que pour tout entier p supérieur ou égal à 1 on a:

S_p=1 - 1/p + 1

c) Calculer 1/2 + 2/2*3 + 1/3*4+....+1/99*100.

d) Conjecturer la limite éventuelle de la suite (S_p)


Mes réponses

1) a) J’ai commencé la démonstration mais je suis bloqué:

Un+1-Un = 1/n+1(n+2) - 1/n(n+1)
=(n²+n)-(n²+2n+n+2)/n+1 (n+2) n(n+1)

Je suis bloqué ici car il y a 2 différentes possibilités pour soustraire chez les numérateurs: •n-2n+n=0
•(2n+n)-n= -2n Je ne sais pas si c’est normal...

b) -2/n*(n+2)*(n+1) > 0 donc cette suite est croissante. Cette réponse suffit ?

c) On a lim 1/n(n+1)=0. Faut-il faire une justification par calcul ?
^{n—> +oo}


2) a) U_n= 1/n(n+1) donc:

1/n(n+1) = 1/n²+n = n+1-n/n*(n+1)=
(n+1)*1/(n+1)*n - n*1/n*(n+1) =
(n+1)*1/(n+1)*n - 1/n+1 =
1/n - 1/n+1. C’est correct ?

b) ???


c) Ici 99* 0,5+1/99*100 divisé par 2 = 24,755= 4951/200. Correct ?


d) Ici lim (S_p)=0. Faut-il faire ici une justification par calcul ?
^n—>+oo


Merci si vous avez le courage de lire ce pavé et de m’aider ^^

PS: Désolé si les calculs avec les fractions sont très peu clairs, demandez moi si vous voulez que je vous écrive les calculs sur papiers....
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[gg0]

Bonjour.

1 a) Tu as compliqué, il y a un dénominateur commun bien plus simple : n(n+1)(n+2). Ensuite, je ne comprends rien à ce que tu racontes, il te suffit de développer en appliquant les règles de cinquième sur la suppression des parenthèses, et tu trouveras.
1 b) -2/n*(n+2)*(n+1) > 0 ???? C'est manifestement faux !!
1 c) tu n'as rien à justifier, on te demande une conjecture.

2 a) je ne peux pas savoir si c'est correct, tu as oublié des parenthèses. Par exemple tu as écrit :
1/n(n+1) = 1/n²+n = n+1-n/n*(n+1) ce qui signifie (règles de priorité des opérations, vues en début de collège) :



2 b) manifestement, il s'agit d'appliquer le résultat du 2 a) :

A toi de finir et de regarder
2 c) Tu n'as pas vu le rapport avec ce qui précède ? Sois un peu attentif quand tu fais un exercice, utilise ton intelligence. Ce que tu as écrit c'est n'importe quoi, ça n'a même aucun rapport avec l'énoncé. On pourrait croire que tu as bêtement imité un exercice sur les suites arithmétiques, alors que c'est évident que ta suite ne l'est pas.
2 d) Quasi évident avec ce qui précède. Encore une affirmation fausse !! Tu joues à quoi ??

Cordialement.

[jacknicklaus]

1) a) J’ai commencé la démonstration mais je suis bloqué:

[I]Un+1-Un = 1/n+1(n+2) - 1/n(n+1)
=(n²+n)-(n²+2n+n+2)/n+1 (n+2) n(n+1)

C'est totalement illisible sans l'usage des bonnes parenthèses : mélange de U_n + 1 et U_n+1, mélange de 1/n + 1(n+2) et 1/[(n+1)(n+2)], etc...
je te propose une réécriture en latex, c'est facile à apprendre. Pour récupérer le modèle, fais "répondre avec citation", tu pourras copier et modifier les formules.

Je traduis :
Un+1-Un = 1/n+1(n+2) - 1/n(n+1)
=(n²+n)-(n²+2n+n+2)/n+1 (n+2) n(n+1)


comme ceci, sans rien changer (il y a plus simple que ce que tu fais, le dénominateur commun est simplement n(n+1)(n+2) ) :

[Lachimiecphysique]

Bonsoir , ah je vois que mon intelligence ^mathématiques^ vous a légèrement plongé dans une sombre colère et j’en suis entièrement désolé. ,j’ai fait quelques recherches mathématiques grâce à votre réponse et à celle de Jacknicklaus, les voici:

1) a) Merci à vous deux, j’ai fait votre proposition Jacknicklaus et c’est en effet plus facile , cependant têtu comme je suis, je voulais vous montrer un développement que j’ai fait par moi même, le voici ( Je ne vois pas malheureusement «*répondre avec citation*» par conséquent je n’ai pas plus récupérer votre type d’écriture) Mais j’ai fait ça en image, la voici : Pièce jointe 404552. Même si il est plus compliqué, il est correct ?

b) Ici U_n+1-U_n <0, la suite devrait être alors décroissante? mais la suite est croissante vers la limite 0 d’après la calculatrice dont voici l’image :C176B17B-B174-420E-8B6D-E5063EC6BDD3.jpeg

c) Donc ici lim 1/n(n+1) =0
^n—>+oo

2) a) Ici, j’ai utilisé une autre méthode ou je montre que «*0=0*» afin d’affirmer l’égalité, bon dit comme ça c’est étrange, voici le calcul en image. Cette méthode est possible ? 9CC333C0-39CC-4180-BAB4-248194BA86F2.jpg

b) Ici U_n= 1/n - 1/n+1 pour tout entier n supérieur ou égal à 1, mais on sait que n=p, on peut donc faire le calcul présenté sur l’image :9761BEE1-0F0D-4481-9E82-5AED0680BC31.jpg

c) S₉₉= 1 - 1/99-1 = 0,99 ?

d) lim S_n=1
_n—>+oo


Merci pour votre aide, bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

salut,

Je traduis :
......
comme ceci, sans rien changer (il y a plus simple que ce que tu fais, le dénominateur commun est simplement n(n+1)(n+2) ) :

tu ne compliques pas un peu ?

[CARAC8B10]

On pouvait aussi avec un peu moins de calcul montrer que est inférieur à 1 donc que est décroissante

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas ce que tu as fabriqué avec ta calculatrice, mais les un sont de façon évidente positifs (produit/quotient de nombres positifs. Tu pourrais quand même faire un peu de réflexion sur l'énoncé avant de sauter sauvagement sur ta calculatrice au point de lui faire calculer autre chose !!

pa première pièce jointe n'est pas visible ("lien invalide").

[Lachimiecphysique]

Bonjour merci à vous, je vous mets un lien correct pour mon développement du 1)a): Est-il correct ? Le reste de mes réponses aussi ?

Merci d’avance, bonne journée

[ansset]

pourquoi as tu deux fois (n+1) au dénominateur au début ???
ce n'est pas faux, c'est inutile.
regarde mon post #5

[ansset]

pour le 2a), c'est très "moche" et lourdingue.
pourquoi ne pas partir de
1/n-1/(n+1) et montrer directement que c'est égal à 1/(n(n+1)) ( en ramenant au même dénominateur )

[Lachimiecphysique]

Bonjour merci pour votre réponse

1)a) Ok, merci d’avoir partagé votre savoir

2) a) Je n’ai pas trop compris votre raisonnement mais j’ai fait ceci qui est peut-être mieux...

Bonne journée

[ansset]

je ne comprend pas comment tu fais la première égalité bizaroide.
on a simplement ( tj une simple mise au même dénominateur (*))



(*) j'ai l'impression que tu as du mal avec ça dans tout ton exercice

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Ta dernière réponse fait plutôt peur...
Comment fais-tu pour calculer (en mettant au même dénominateur) 1/2 - 1/3 ? (lire "un demi moins un tiers")

Cordialement,
Duke.

EDIT : Grillé.

[jacknicklaus]

@ansset :

salut,

tu ne compliques pas un peu ?

Euh.....


le but du message #3 que tu cites n'est pas de résoudre. Il est de montrer au PP la traduction de ses calculs en latex, afin de l'aider à les écrire de manière lisible.
Ce que je précise de manière explicite dans mon message :

Je traduis comme ceci [...] sans rien changer (il y a plus simple que ce que tu fais, le dénominateur commun est simplement n(n+1)(n+2) ) :


@lachimiecphysique

ton "calcul" du post #11 fait peur. . sérieux !
je crains fort qu'il ne te manque quelques bases, notamment la mise au dénominateur commun de fractions. Revois çà en détail et en urgence.

[ansset]

cette phrase m'avais échappée:

y a plus simple que ce que tu fais, le dénominateur commun est simplement n(n+1)(n+2) ) :

sorry !!

pour le reste , il semble qu'il y ait un réel souci niveau collège:
question pour Lachimiecphysique:
simplifier ( mettre au même dénominateur ) l'expression

[Lachimiecphysique]

Bonjour merci pour vos réponses.

Je trouve (ad-cb)/bd



C’est correct ?

Bonne journée

[ansset]

Oui !
mais pourquoi ne l'appliques tu pas pour

au lieu de ton post #11 assez horrible et incompréhensible.

[Lachimiecphysique]

Je sais pas, j’ai l’impression que quand je vois des calculs à l’aspect *complexe comme celui-ci, je me laisse impressionné par ce dernier et je cherche alors des «*trucs compliqués*» et je fais alors des choses bizarroïdes....

En tout cas un grand merci pour tout, bonne fin de journée !