fonction dérivée

[Tryph]

Bonjour les gens,

Considérez la figure suivante:
triangle.png

En admettant que:

• la droite en bleu est une route sur laquelle on se déplace à la vitesse vRoute
• tout le reste est un champ dans lequel on se déplace à la vitesse vChamp

J'essaie de déterminer l'angle qui minimise le temps de trajet entre A et B en passant par C.

Pour ça, j'ai d'abord cherché la fonction qui traduit le temps du trajet A->C-B et j'en suis arrivé à ça:



Déjà à ce moment là, je suis pas sûr de moi alors si quelqu'un à le temps et l'envie de vérifier, qu'il ne se gène pas

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Mais mon vrai problème arrive quand j'essaie de dériver cette fonction (afin de trouver son minimum).
Comme mes derniers cours de math remontent à quelques années, j'ai décider d'y aller par étape et de commencer en dérivant la première expression de la fonction:

D'après les formules que j'ai trouvé sur certain sites, je calcule que l'expression dérivée est

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Comme je ne suis vraiment pas sûr de moi à ce stade, je me suis dit que j'allais faire tracer ces 2 expressions à Geogebra histoire de vérifier si ça parait plausible et j'obtiens ça avec

• une distance
• un angle

(le tracé de l'expression originale est en bleu et la dérivée en noir)

deriv_expr_1.png

La dérivée obtenue à l'air d'être l'opposé de la dérivée que je devrais obtenir puisque ma dérivée est positive quand ma fonction décroit et négative quand ma fonction croit. Hélas, j'ai beau refaire le calcul, revoir les formule de dérivation que j'ai trouvé, pas moyen de trouver à quel moment je me trompe.

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Du coup si une âme charitable veut bien pointer du doigt mon erreur, je lui serai bien reconnaissant
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[iPhysics]

Pour commencer, la fonction est tout a fait correcte, on peut le vérifier pas trop difficilement en appliquant la loi des sinus et en retenant bien que le temps, c'est la distance divisée par la vitesse.

Ensuite, pour dériver je rappelle une formule qui s'avère très utile : .

En l'occurrence, et ainsi :

Seul reste a calculer le terme , or on peut montrer aisément (composition des dérivées) que . En l'occurrence, .

Les termes négatifs multipliés rendent le résultat positif, en multipliant par la constante [AB], on a bien pour cette première étape de dérivation :

.

Je reste à disposition pour toute autre question !

[Tryph]

Merci beaucoup pour ton explications iPhysics. Même si je dois avouer que j'ai un peu de mal à comprendre les formules que tu utilises, ça m'a au moins permis de comprendre ou était mon erreur.

En gros, pour ne pas trop allourdir mes calculs, j'avais remplacé par une variable dans mes formules.
Du coup j'en ai oublié que était elle même une fonction et que la dérivée de était (et non pas seulement )

En tout cas maintenant que mon intuition d'une erreur de signe est confirmée par un calcul juste, je vais pouvoir passer une bonne nuit

Je ne manquerai pas de repasser en cas de nouveau soucis

[ansset]

bjr,
il ne sert à rien de dériver uniquement une partie de la fonction.
on a , avec Vr=Vroute ; Vc=Vchemin

en notant que
donc une fonction f qui devient

[A voir en vidéo sur Futura]

[iPhysics]

Si jamais cela pose soucis, tu peux utiliser la notation au lieu de , cette dernière ayant juste plus de sens puisqu'elle est équivalente à la notation qui correspond à la variation instantanée de la fonction. La formule, notée telle qu'on pourrait la voir écrite dans des cours de 1ère S :

et avec évidemment . Cette formule se vérifie facilement, avec quelques exemples notamment : dériver la fonction , et bien la dérivée vaut .

Tant qu'on est sur les notations, lorsque l'on parle de fonctions temporelles, on peut aussi noté la dérivée de u par u avec un point au dessus : .

Bon courage !

[Tryph]

@ansset: Je sais bien que la dérivation de la seule première expression de la fonction ne me sert à rien, mais à partir du moment ou je me rends compte que cette étape me pose déjà un soucis, je me dis qu'il vaut mieux que je comprenne mon erreur avant d'aller plus loin

@iPhisics: j'avais fini par comprendre le sens des formules (on me concentrant bien) mais c'est vrai que je suis plus "coutumier" des notations avec des primes. En tout cas, merci pour les précisions, ça pourra me servir si je croise ces notations.

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Sinon, finalement après avoir compris mon erreur et répondu sur le forum la nuit dernière, j'ai procédé à la suite de la dérivation et j'ai fini avec ça:

Ça fait une fonction bien compliquée (mais qui semble juste d'après ce que je peux voir dans GeoGebra) que j'avais l'intention de chercher à simplifier ce soir.

Mais finalement je pense que je vais plutôt essayer de retrouver la fonction fournie par ansset dans un premier temps (c'est pas que je ne fais pas confiance, c'est juste que j'aime bien comprendre), et de la dériver pour voir si j'obtiens quelques chose de plus simple.
Sinon, bien vu pour la simplification de en . Je comprenais pas trop le truc au départ mais en dessinant un cercle trigonmétrique, j'ai bien du me rendre à l'évidence. Ça permettra aussi d'alléger un peu les formules.

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Bon sinon, vu qu'il semble y avoir des matheux un peu calés et réactifs sur ce forum, je me permets d'ellargir un peu ma question de départ et demander un avis un peu moins précis:

Mon projet au départ c'est d'écrire un programme (en Python) qui simule des déplacements entre des points sur un plan (je verrai éventuellement plus tard si je rajoute des notions relief).
Sur mon plan, j'aurai un réseau routier qui sera modélisé sous forme d'un graph. Mais je ne veux pas limiter les deplacement au plus courts chemin, ou aux chemins de moindre coût sur le graph existant.
Je veux aussi prendre en compte les cas ou le départ et/ou la destination ne sont pas placés le long d'une route, et ajouter des noeuds et des arrêtes au graph.
D'ou ma question initiale: dans mon idée, le point B est un noeud existant, la droite en bleu est une arrête existante (une route), A est un nouveau noeud à ajouter au graph et C est le noeud optimal (temporellement) pour relier A à B.
Ensuite je souhaite aussi ajouter la possibilité de "couper" des angles du graph pour lesquels suivre la route serait plus long que de passer à travers champs.

Si vous vous demandez à quoi ça pourrait bien servir, la réponse est "probablement à rien. mais éventuellement à servir de base au système de déplacement dans un jeu de gestion. un jour. peut être... mais, me connaissant, plus probablement à rien"
Si vous vous demandez pourquoi je voudrais faire ça: ça m'amuse

Bref... je me suis d'abord imaginé que ce genre d'algorithme existait et que j'aurais juste à utiliser une bibliothèque existante. Mais je n'ai rien trouvé. Peut être parce que je ne sais pas quoi chercher.
Du coup je me dis que vous avez peut être connaissance d'un nom d'algorithme ou d'une méthode qui traite de ce problème particulier, à propos duquel je pourrais me renseigner.

Sinon, c'est pas grave je vais continuer à essayer de me remémorer mes cours de math de lycée

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Quoi qu'il en soit, merci pour le support