Parties non vides de Z

[CompositeStructure]

Bonjour,

Désolé je reviens avec de nouvelles questions sur des définitions, ici sur la divisibilité dans Z.

Parties non vides de Z:
Dans l'ensemble Z:

• Toute partie non vide et minorée de Z possède un plus petit élément (unique)
• Toute partie non vide et majorée de Z possède un plus grand élément (unique)

Je comprends que par exemple [1; 5] est minorée en 1 et majorée en 5.
Mais elle devrait contenir une infinité de plus petits éléments et une infinité de plus grands éléments.
Je ne comprends pas bien la définition.

Merci par avance

Cordialement

Mathieu
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[invite9dc7b526]

Si tu as un ensemble ordonné E et A une partie de E un plus petit élément de A est un élément de A qui est plus petit que tous les éléments de A. Si l'ordre est quelconque cet élément n'est pas nécessairement unique. Mais Z est un ensemble totalement ordonné et donc une partie A de Z a au plus un plus petit élément. Même chose pour le plus grand élément.

Dans le cas de l'ensemble A={1,5} 1 est le plus petit élément de A puisqu'il appartient à A et est plus petit que 1 et 5. Il n'y a pas d'autre élément de A qui convienne.

[invite9dc7b526]

j'ai écrit une bêtise (j'ai confondu avec une autre notion): le plus petit élément de A est nécessairement unique, même dans le cas d'un ordre partiel. C'est facile à démontrer : si a et b sont des éléments de A plus petits que tous les éléments de A on a a<=b et b<=a et donc a=b.

[pm42]

Je comprends que par exemple [1; 5] est minorée en 1 et majorée en 5.
Mais elle devrait contenir une infinité de plus petits éléments et une infinité de plus grands éléments.

Si on est dans Z, [1;5] contient 5 éléments. Donc pour contenir une "infinité", c'est compliqué.

Ensuite, penses tu qu'il est possible d'avoir déjà 2 plus petits éléments ? Parce que s'ils sont différents, l'un est plus petit que l'autre et donc, le plus grand n'est pas "un plus petit élément".

[A voir en vidéo sur Futura]

[CompositeStructure]

Merci, je viens de comprendre !!!
Un plus petit élément et non pas le plus petit élément

Merci beaucoup

[gg0]

Bonjour.

Comme il est unique, ce plus petit élément, on l'appelle le plus petit élément.

Cordialement.