Equation cartésienne d'un plan par un point et contenant droite

[PixAndCo]

Bonjour,

On me demande de trouver l’équation cartésienne du plan passant par le point (−1, 0, 2) et contenant la droite D

3 x = 2y
2y = z + 2

J'aurais dit que comme le plan contient la droite, il a le même vecteur directeur que D, à savoir (2/3, 1, 2). Pour obtenir l'équation cartésienne, j'ai besoin d'un vecteur normal. Je trouve (3, 0, -1) via les deux équations de la droite mais après je suis perdu...

L'équation cartésienne du plan est sous la forme ax + by + cz + d = 0 ; avec le vecteur normal (3, 0, -1) et passant par le point (-1, 0, 2), je trouve d = 5 et donc 3x - z + 5 = 0 comme équation cartésienne du plan. Sauf que la réponse est 12x 14y + 3z + 6 = 0.

Merci pour l'aide.
-----

[gg0]

Bonjour.

Avec la droite, tu peux facilement trouver deux nouveaux points en prenant des valeurs pour z, par exemple z=0 et z=2. Tu es alors ramené à un problème classique.
Sur ce que tu as fait :
"j'ai besoin d'un vecteur normal". La droite ne peut pas t'en donner un, puisque une infinité de directions de vecteurs sont normales à la droite. Ton vecteur de coordonnées (3, 0, -1) est normal à la droite, pas au plan !

Cordialement.

[PixAndCo]

Merci pour la réponse, je comprends pourquoi je ne peux pas utiliser le vecteur (3, 0, -1) mais toujours pas comment résoudre l'exercice.

J'ai effectivement trouvé deux points de la droite, par ex. (0, 0, -2) et (-2/3, -1, 0). Cela me donne donc le vecteur directeur de la droite ; (2/3, 1, 2). Mais pour déterminer un plan j'ai besoin de deux vecteurs directeurs non en plus de mon point ?

[PixAndCo]

Ok, j'ai trouvé. Avec mes deux points de la droite et mon point P, j'ai créé deux vecteurs directeurs puis ai trouvé l'équation du plan. Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bravo !

Cordialement.