Dérivée d'une intégrale

[Guigui97]

Bonjour,Bonsoir,

Je suis entrain de me remettre dans les intégrations par plaisir et pour amélioré les compétences en mathématiques. (que je n'ai plus fait depuis un moment et que je reprends )

Donc venons au sujet qui est plutôt simple mais que je bloque un peu niveau de la compréhension.

Je vais juste posé une intégrale pour exemple:



Et maintenant j'aimerais dérivé cette intégrale et là je ne suis pas certain de mon raisonement:



Alors il me semble avoir vu que la dérivé d'une intégrale est la fonction qui est intégré elle même, donc f(x).
Mais si on prend par exemple:



Et que je fais le calcul en espérant sans fautes :



Et maintenant bon le résultat vaut-il f(x)... Je vois pas trop comment ou alors ça ne marche peut être que quand la borne "a" vaut 0 ?

Merci de votre aide d'avance n'hésitez pas à critiqué mes érreurs de débutants comme ça je peux toujours m'améliorer !
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[pm42]

Et maintenant j'aimerais dérivé cette intégrale

C'est très rapide : ton intégrale est un réel. Donc g(x) est une fonction constante et sa dérivée vaut 0.
Tu confonds intégrale et primitive. Il y a un lien très fort entre les 2 puisqu'on peut calculer l'intégrale en faisant la différence entre 2 valeurs de la primitive comme tu le fais et exprimer la primitive comme une intégrale mais ce n'est pas ce que tu as fait.

Les primitives de f, c'est et on choisit a comme on veut puisque cela revient à dire qu'elles sont définies à une constante près.

[Guigui97]

exprimer la primitive comme une intégrale.

Veux tu dire ceci que j'ai pas mis dans le dévelopement ? : ou alors ton intégrale ? :

ton intégrale est un réel.

Ce qui fait que c'est un réel c'est le paramètre x qui est dans g(x) et qui se retrouve également dans la fonction intégré f(x) ? (sinon oui je me suis un peu trompé en mettant x comme paramètre dans g(x) et dans la fonction intégré )



Du coup tu as changé le paramètre x dans la fonction intégré par t et tu as mis le x en borne supérieur. Je vais donc reprendre ton intégrale pour la suite: (Parce que je me suis emmêlé pour l'exemple avec x)


Maintenant imaginons que je veux dérivé l'intégrale :

Il me semble avoir vu sur le net que la dérivée d'une intégrale vaut la fonction qui est intégrée elle même, donc f(t).
Et j'aimerais donc tombé sur le résultat de la fonction intégré, mais je pense que mon premier raisonement ici était faux:



Et le bon raisonement donc le second serait de faire ceci:



Mais si je me trompe pas mon raisonement ne fonctionne que si j'ai x en borne supérieur comme tu l'as fait. Et donc si les de l'intégral ne varie pas, elle serait considéré automatiquement comme une constante ?

[gg0]

Bonjour Guigui97.

Comme te le disait pm42, une intégrale est un nombre. Fixe s'il n'y a aucune lettre autre que le variable d'intégration :

Le x, la variable d'intégration, est une variable liée, qui n'a pas de signification :


Maintenant, si, dans la définition de l'intégrale, apparaît une variable, l'intégrale peut être considérée comme un nombre variable, une fonction de la variable en cause.

Ta ligne

est tout à fait correct, puisqu'on peut considérer l'intégrale comme une fonction de la variable x. Pourquoi n'es-tu pas allé au bout du calcul :


Enfin, il faut savoir qu'on définit ,les intégrales pour des fonctions bien plus larges que celles qui ont des primitives, et dans ces cas-là, l'intégrale de a à x est une fonction de x qui n'est plus dérivable.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Guigui97]

Bonjour gg0 et merci de ta réponse où j'ai quelques questions,

Maintenant, si, dans la définition de l'intégrale, apparaît une variable, l'intégrale peut être considérée comme un nombre variable, une fonction de la variable en cause.

Donc par exemple si je reprend ton intégrale:

Pour rendre l'intégrale variable on pourrait faire quoi par exemple ?
En mettant une variable à la borne comme ceci:

ou encore ceci: (je pose des exemples pour voir si j'ai bien compris.)

Ce qui en est de ma ligne :


Je ne comprend pas le F'(a) qui vaut 0 ici:

Merci !

[gg0]

Ok pour tes exemples.

Pour la dérivée de F(a) : Attention, ce n'est pas F'(a) (*), mais (F(a))'. C'est quoi, a ? Comme tu n'en disais rien, j'ai considéré que c'était une variable indépendante de x (ce qu'on appelle un paramètre). Quand x varie, F(a) ne varie pas. Quelle est la dérivée d'une quantité qui ne varie pas ?

Évite de manipuler des lettres "sans statut", des lettres que tu écris sans savoir ce qu'elles sont, comme ce a. Mets-leur un rôle. Quand tu écris

f est déjà définie (c'est une fonction), t est la variable d'intégration (la lettre sans signification qui sert à écrire l'intégrale), x la variable de définition de la fonction g (**), mais a n'est pas défini. Comme c'est toi qui écris, c'est à toi de savoir qui est ce a.

Cordialement.

(*) F'(a) n'est pas la dérivée de F(a), mais la valeur de F'(x) pour x=a. La notation ' est dangereuse quand on ne fait pas attention. Utilise pour mieux comprendre.
(**) g étant une fonction, elle devrait d'abord être définie comme fonction (g(x) n'est pas une fonction, mais un nombre) :

J'ai volontairement changé les noms des lettres qui n'ont pas de signification, qui peuvent être remplacées par tout autre lettre qui n'introduira pas de confusion - on ne va pas prendre a, ou deux fois la même lettre.

[Guigui97]

Ok pour tes exemples.

Ah voilà j'ai bien compris, c'est déjà ça de pris !

F'(a) (*), mais (F(a))'

F'(a) n'est pas la dérivée de F(a)

C'est vrai que j'ai pas fais attention mais qu'elle est la différence entre F'(a) et (F(a))' ? (F(a))' est la dérivée de F(a) du coup ?

Évite de manipuler des lettres "sans statut"

Oui j'aurais du le fixé "a" on va dire que c'est 2 et oui je peux changé ce qui changera pas le résultat de l'intégrale:



Et maintenant on va imaginé que je veux donc la dérivée de l'intégrale ci-dessus.

Donc j'ai ceci :

ou ceci :

Je ne sais pas trop du coup.
Et dans qu'elle ordre je procède pour calculé ceci F'(2) ?

[gg0]

Pour (F(u)-F(2))', tu appliques les règles de dérivation, avec la variable u. La dérivée de F(u) est f(u) puisque F est une primitive de f, la dérivée de la constant F(2) est 0 (cours sur les dérivées).
Et encore une fois, on ne calcule pas F'(2), mais on dérive F(2)

Pour F(x)= 2x²+3, F(2) = 2*4+3=11 et sa dérivée par rapport à u est (11)'=0; F'(x) = 4x, donc F'(2) = 4*2=8.

[Guigui97]

F'(x) = 4x, donc F'(2) = 4*2=8.

Oui, moi je faisais la dérivée de la primitive, puis je la "calculais" c'est à dire: F(x) = 2x²+3 ; que je dérivais donc F'(x) = 4x; et ensuite je remplacais x par le paramètre envoyé F'(2) donc 4*2 = 8. Mais du coup j'avais pas le 0.
Qu'en faites il faut envoyé directement le paramètre donc F(2) = 2*4+3=11 et donc il faut dérivé le résultat et éffectivement on arrivee à 0.

En gros, je dérivais puis je "calculais" hors que je devais "calculer" puis dériver je suppose. Ou alors je me trompe encore ?

[gg0]

Pourquoi poser la question, en redisant ce que j'ai dit ?
Quand tu as un calcul à faire, regarde exactement ce qui est écrit. Puis fais-le exactement.

Dans la vie, c'est la même chose. Tu ne confonds pas "aller tout droit sur un kilomètre puis tourner à droite" avec "tourner à droite et aller tout droit sur un kilomètre".

[ansset]

ce n'est pas exactement ça.
si tu lis bien ce qu'explique gg0, une intégrale peut avoir des bornes fixes ou variables. ( mais on lui donne le même nom )
si elles sont fixes, alors c'est une valeur, il n'y a pas de dérivée, ou dit autrement, elle est forcement nulle, car il n'y a pas de variables
si une des bornes au moins est une variable, alors l'intégrale devient une fonction ( et non plus plus une valeur ) et dépend des bornes.
dans ce cas, comme toute fonction, elle est potentiellement dérivable.
Cdt

désolé: croisement, mais différemment exprimé.

[ansset]

en plus simple:
. Il n'y pas dérivée , c'est une valeur fixe
donc dépend forcement de x et sa dérivée vaut bien x.

[ansset]

la première est une valeur, la seconde une fonction de x

[Guigui97]

Donc je voullais dérivée cette intégrale.

1)Je pose: (F(u) - F(2))
2)Je dérive : (F(u) - F(2))'
3)Le F(2) est une constante donc la dérivée vaut 0 et le F(u) une primitive qui a en paramètre une variable qui quand on la dérive on a la fonction qui était "primitivé": f(u) - 0
4) et on a : f(u)

C'est juste que la 2ème étape je comprenais pas vraiment comment la calculée algébriquement je m'étais embrouillé.

Je vais montré où je me trompais:



une fonction pour l'exemple : f(n) = n²
voilà la primitive:F(n) = n^3/3

je vais reprendre les étapes du haut:

1)Je pose: (F(u) - F(2))
2)Je dérive : (F(u) - F(2))'
3) je pense que l'érreur était là en gros je posais de chaque côté la primitive: (u^3/3 - u^3/3)'
4) ensuite je dérivais: u² - u²
5) le deuxième therme je remplacait u par 2: u² - 4

hors j'aurais du faire, je reprens à l'étape 3 :
3) je remplace u directement dans le second therme par le 2: (u^3/3 - 2^3/3)'
4) je fait le petit calcul du second therme: (u^3/3 - 8/3)'
5) je dérive les 2 thermes: u² - 0
et on tombe bien sur u2.

si elles sont fixes, alors c'est une valeur, il n'y a pas de dérivée, ou dit autrement, elle est forcement nulle, car il n'y a pas de variables

Oui j'ai compris ce que m'avait expliqué gg0, qu'il faut une variable dans une intégrale pour que celle-ci varie parce que sinon elle donnera un nombre en dur ou encore une constante.

[gg0]

En maths, passer du temps à expliquer à quel endroit on s'est trompé, ça n'a aucun intérêt; même pour toi. Savoir qu'on s'est trompé, savoir ne plus se tromper, oui, ça sert. Dans ce dernier message, tu fais du flood, du remplissage.

Évite de donner tant d'importance à ce que tu fais, passe à d'autres choses ...

[Guigui97]

Yep au moins j'ai compris où j'ai fait mon erreur, merci de votre aide dans tout les cas.

[albanxiii]

Guigui97, toutes vos formules sont des images externes, cela n'est pas autorisé. Pourriez-vous, à l'avenir, écrire vos formules en LaTeX ou bien si vous voulez garder des images, les insérer comme pièces jointes ?
Merci.

[Guigui97]

Bonjour, oui désolé
je n'arrive pas à modifier les réponses actuelles.
Mais si je reposte je prend note que ça sera en LaTex et non des images !