Dm sur les nombres complexes
Bonjour !j'ai un DM à rendre pour la rentrée sur les nombres complexes mais je suis vraiment incertaine de mes réponse et la précision est littéralement la chose la plus importante pour ma prof
Voici l'énoncé
" 1- Pour tout nombre complexe z = x + iy, on admet le complexe Z = z² - 2iz + 2"
Je pense avoir bien répondu à cette question, j'ai remplacé les z par leur expression dans Z :
Z = (x + iy)² - 2i(x + iy) + 2
= x² + 2xiy + (iy)² - 2ix - 2i²y + 2
= x² + 2xiy - y² - 2ix + 2y + 2
= (x² - y² + 2y + 2) + i(2xy - 2x)
2- Si z est imaginaire pur, montrer que Z est réel
pour celle-ci j'ai simplement remplacé x par 0, je finis par tombé sur :
Z = -y² + 2y + 2
j'en ai conclu que x et y étant des réels, si i disparait, alors Z est forcement un réel, je ne suis pas vraiment sûre de moi même sur cette conclusion, elle a l'air un peu bateau
3- La réciproque est-elle vraie ?
pour celle-ci, j'ai dit que si Z est réel, alors la partie imaginaire est nulle
donc i(2xy - 2x) = 0
2xy - 2x = 0
2x(y - 1) = 0
x = 0 ou y = 1
or si on remplace x par 0 ou y par 1 dans z = x + iy, on trouve soit z = iy donc un imaginaire pur ou z = x + i
dois-je en conclure que la réciproque n'est par toujours vraie ?
Pour la dernière question, on me demande de déterminer l'ensemble des nombres complexes z tel que Z soit réel. Je n'ai pas encore réfléchit à cette question car j'hésite beaucoup sur les trois premières, j'ai beaucoup trop peur qu'elles ne soient pas assez détailler ou fausse et que ça me pénalise. Pouvez-vous me donner votre avis sur mes réponses ?
Merci d'avance pour votre aide !
-----