Suites Géométriques et Arithmétiques

[boogie2466]

Bonjour,

De mon point de vue les deux suites suivantes:

U(n+1)= racine carré (Un), Uo= 1

U(n+1)= 1-Un, Uo=0

ne sont toutes deux ni géométriques ou arithmétiques. Enfin la deuxième est arithmético-géométrique, mais du coup on ne peut pas la catégoriser telle qu'arithmétique ou géométrique.
Mais je ne sais pas si je le démontre suffisamment bien:

-La première (constante) définie par récurrence ne correspond ni à : U(n+1)= Un.q , et ni à: U(n+1)=Un+r (est-ce suffisant ?)
-La deuxième ne peut pas être arithmétique car car sa définition: U(n+1)=1-Un , ne correspond pas à U(n+1)= Un+r.

Je ne sais si mes explications suffisent à énoncer que ces suites ne sont ni arithmétiques, ni géométriques (cela fait parti d'un exo où l'on doit déterminer si la suite est géométrique, arithmétique, ou ni l'une ni l'autre...)

Merci,
Bonne soirée à vous!
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[Verdurin]

Bonsoir,
pour la première suite :
1+0=1 et 1*1=1

Pour la seconde il suffit de regarder u₀, u₁ et u₂

[boogie2466]

D'accord, mais je ne vois pas en quoi cela me permettrait de justifier que ces suites ne sont ni arithmétiques, ni géométriques.

La première suite est constante, de par ce facteur elle ne peut pas être géométrique ou arithmétique ?
La deuxième, à des valeurs qui alternent entre O et 1, donc u1-u0 est différent de u2-u1... est-ce suffisant ?
Merci.

[duduch74]

bonjour

Une suite géométrique est de la forme U(n+1) = q x U(n) donc on a toujours U(n+1)/U(n)=q. Autrement dit le rapport de 2 termes successifs a toujours la même valeur.

Ajoutons que pour montrer qu'une propriété est fausse il suffit d'un contre-exemple. Donc il suffit de constater que U1/U0 n'est pas égal à U2/U1 autrement dit le rapport de deux termes successifs n'est pas constant pour pour cette suite.

Je te laisse trouver un raisonnement similaire pour une suite arithmétique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[boogie2466]

Bonjour,

j'ai compris le principe du contre-exemple (que l'on peut appliquer à la deuxième suite), si U2/U1 est différent de U1/UO: la suite n'est pas géométrique. Si U2-U1 est différent de U1-U0: la suite n'est pas arithmétique.

Seulement pour le première suite, on pourrait très bien considérer qu'il s'agit d'une suite géométrique de raison q=1 et de premier terme U0=1, car en soit U2/U1=1 et U1/U0= 1. Donc il s'agirait d'une suite géométrique ?

Merci.

[duduch74]

en fait la première suite est constante, elle vaut toujours 1. on pourrait très bien dire que c'est une suite géométrique de raison 1 ou arithmétique de raison 0.

La deuxième est une suite alternée, les termes valent alternativement 1 et 0.

Si tu es en terminale tu as du voir le raisonnement par récurrence pour démontrer tout ça.

En fait quel est l'énoncé exact de ton problème ?

[gg0]

Boogie :

Verdurin te répondait en montrant que ta première suite est arithmétique et géométrique !!

A priori, une suite quelconque n'est ni arithmétique, ni géométrique. Mais il est pratique de reconnaître quand c'est le cas, par exemple en testant les premiers termes. Ces suites rares (*) ont des propriétés très utiles. Et on les retrouve dans certaines théories (suites récurrentes, échelles de tailles, ...)

Cordialement.

(*) sauf dans les exercices sur ... les suites arithmétiques et géométriques.

[boogie2466]

Bonjour,
;
je suis actuellement en Première, et mon exercice consiste simplement à démontrer si les suites données (telles que les 2 que j'ai donné précédemment) sont géométriques, arithmétiques ou ni l'une ni l'autre.
Ainsi, si j'ai bien compris, le première suite peut géométrique (je démontre) ou arithmétique (je démontre aussi).
Les deuxième n'est par contre ni l'une ni l'autre, (enfin il s'agit d'une arithmético-géométrique d'après mes recherches, mais comme je n'ai pas abordé ce type de suite, je ne le précise pas). Pour l'instant, je n'ai pas abordé le raisonnement par récurrence, du coup pour la deuxième suite est-ce que le contre-exemple est suffisant ? Car comme nous n'avons pas abordé les suites arithmético-géométriques, je ne pense pas qu'ils attendent à ce que je démontre cette nature.

Merci beaucoup

[duduch74]

OUI un contre exemple suffit pour démontrer que quelque chose est faux. Quand quelque chose est vrai il doit l'être tout le temps (enfin, pour un domaine considéré). un contre exemple montre que la propriété n'est pas vrai tout le temps, donc ne peut être considérée comme vraie.

[gg0]

Dans les deux cas, aucune récurrence n'est nécessaire, simplement montrer soit que il y a une raison (une constante pour u_n+1-u_n ou u_n+1/u_n); soit que ce n'est pas possible ( u_n+1-u_n ou u_n+1/u_n n'est pas constant) et alors un seul contre exemple suffit.

Cordialement.

[boogie2466]

D'accord,

Merci beaucoup du temps que vous avez accordé à mes questions!
Bonne journée à vous.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

En passant, une suite géométrique s'écrit U_n+1 = q×U_n pour une raison q différente de 1 !

Cordialement,
Duke

[gg0]

Heu... non.

Il n'y a pas de raison de refuser r=1.

Cordialement

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Oups !... Voilà que je confonds les termes d'une suite et leur somme !...
Pardon pour cette bêtise

Il faut quand même avouer que le cas q=1 ne présente que peu d'intérêt pour une suite dite géométrique.

Bonne soirée.
Cordialement,
Duke

[gg0]

Effectivement,

mais parfois comme cas limite ...

Cordialement